ПАСКАЛЬ: ЦИКЛ “ПОКИ” ТА ЙОГО ВИКОРИСТАННЯ
Цикл – це ряд подій, що регулярно повторюються в тому самому порядку.
З Оксфордського словника англійської мови
1. Поки…
Приклад 4.1. Розглянемо дещо штучну задачу: написати цілочислову функцію
з ім’ям pow для обчислення степеня an за довільним натуральним a і n? 0.
Задача має елементарне розв’язання: an=enlna, і в тілі функції достатньо
написати pow:=round(exp(n*ln(a))). Проте невід’ємні степені цілих чисел
є цілими, тому спробуємо обійтися без нецілих виразів із функціями exp і
ln.
За означенням, an є a? a? …? a, тобто a0=1, ai=ai-1? a для i=1, 2, …
, n. Це підштовхує до спроби обчислення an шляхом багаторазового
множення на a. Спочатку шуканий степінь p=1, і треба n разів умножити
його на a. Після першого множення p=a, і треба n-1 разів умножити його
на a тощо. Перед останнім множенням p=an-1. Таким чином,
спочатку p=1 і треба виконати n множень на a, і поки залишаються
“невикористані” множники a, ми множимо p на a, одержуємо новий степінь p
і запам’ятовуємо, що “невикористаних” множників стало менше на 1.
Остання фраза, власне, і є алгоритмом обчислення an. Перекладемо його на
мову Паскаль.
Нам потрібні змінні p і a для збереження степеня і його основи, а також
змінні n і k для збереження показника степеня й кількості
“невикористаних” множників. Змінні a і n – параметри нашої функції, тому
їх початкові значення тут не важливі. Тепер алгоритм можна уточнити:
p:=1; k:=n;
поки k>0 виконувати {залишилися “невикористані” співмножники}
begin p:=p*a; k:=k-1 end
Якщо перекласти на англійську мову слова поки і виконувати як while і
do, то утвориться:
p:=1; k:=n;
while k>0 do{залишилися “невикористані” співмножники}
begin p:=p*a; k:=k-1 end
Але це вже Паскаль! Справа в тім, що вираз вигляду
while умова do оператор
називається while-оператором, або оператором циклу з перед-умовою. Вираз
“while умова do” називається заголовком циклу, “оператор” – тілом. Ми б
назвали while-оператор циклом з умовою продовження, але цей термін
дотепер у літературі не з’являвся.
Опишемо семантику оператора циклу та прокоментуємо всі ці назви.
Виконання оператора циклу починається з того, що обчислюється умова,
записана в заголовку. Якщо вона істинна, то виконується тіло циклу і
знову обчислюється умова. Якщо вона істинна, усе повторюється. Якщо ж
при черговому обчисленні умова стає хибною, то тіло циклу не виконується
і взагалі виконання оператора циклу на цьому закінчується. Зокрема, якщо
при першому обчисленні умова хибна, то тіло циклу не виконується жодного
разу.
Отже, обчислення умови й виконання тіла повторюється, тобто має
циклічний характер. Можна сказати, що обчислення умови й виконання тіла
утворюють цикл, як день і ніч, змінюючи одне одного, утворюють добу.
Істинність умови веде до продовження виконання оператора циклу, хибність
– до його завершення, тому умова називається умовою продовження. Вона
також називається перед-умовою, оскільки з її обчислення починається
черговий цикл. Останній цикл неповний – у ньому тільки обчислюється
умова (і виявляється хибною).
Оператору з перед-умовою відповідає блок-схема, зображена на рис.4.1.
Повернемося до задачі. Послідовність операторів для обчислення an при
a=2, n=3 задає процес
p:=1; k:=3;
обчислення умови k>0: true ;
p:=1*2; k:=3-1; {p=2; k=2}
обчислення умови k>0: true;
p:=2*2; k:=2-1; {p=4; k=1}
обчислення умови k>0: true;
p:=4*2; k:=1-1; {p=8; k=0}
обчислення умови k>0: false,
а при a=5, n=0 – процес
p:=1; k:=0;
обчислення умови k>0: false.
У вигляді коментарів тут указано стани пам’яті наприкінці циклів.
Запишемо, нарешті, функцію pow:
function pow(a, n:integer):integer;
var p, k: integer;
begin
p:=1; k:=n;
while k>0 do
begin p:=p*a; k:=k-1 end;
pow:=p
end;
?
Приклад 4.2. Розглянемо задачу: за цілим A>0 обчислити мінімальне n
таке, що n! ? A.
За означенням, n!=1? 2? …? n, тобто 1!=1, 2!=1!? 2, 3!=2!? 3 тощо,
n!=(n-1)!? n. Обчислимо 1! та порівняємо з A; якщо 1!=A, f=n! , тому значення n – шукане}
Коментар після циклу містить умову f>=A – по суті, заперечення умови
продовження f
3.* Написати функцію обчислення n!, де n? 0 (0!=1).
2. Рекурентні послідовності та співвідношення
2.1. Деталі конструктора
У прикладі 4.1 змінна p у процесі виконання операторів приймала значення
1, a, a2, a3, … , an. У цій послідовності перший член 1, а кожний
наступний дорівнює попередньому, помноженому на a. Позначивши члени
послідовності через p0, p1, p2, … pn, маємо рівність: pi=pi-1*a при
i=1,2,…,n. Така рівність, що виражає член послідовності через попередні
(один або кілька), називається рекурентним співвідношенням.
“Рекурентний” означає “зворотний”. Справді, елемент послідовності тут
визначається через попередні, і для його обчислення треба повернутися до
них. Усім добре відомі рекурентні співвідношення вигляду an=an-1+d або
bn=bn-1? q – їм задовольняють члени відповідно арифметичних або
геометричних прогресій. Конкретна ж прогресія, тобто послідовність
чисел, задається першим членом a1 і різницею d (або знаменником q).
Власне, послідовність степенів у прикладі 4.1 p0, p1, p2, … –
геометрична прогресія: вона визначається першим членом p0=1 і
рекурентним співвідношенням pi=pi-1*a при будь-якому i>0.
У прикладі 4.2 змінна n послідовно приймала значення, що утворюють
арифметичну прогресію з першим членом 1 і різницею 1. Послідовність же
значень змінної f не була прогресією, але визначалася першим членом f1=1
і співвідношенням fn=fn-1? n при n>1.
Послідовність, члени якої задовольняють деяке рекурентне співвідношення,
також називається рекурентною.
Приклад 4.3. Розглянемо послідовність {f} чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
, у якій f1=f2=1, а наступні члени задаються рекурентним співвідношенням
fn=fn-2+fn-1, n>2.
Вона називається послідовністю чисел Фібоначчі – за прізвиськом Леонардо
Пізанського, який першим її описав. За першими двома її членами можна
обчислити третій. Для обчислення четвертого перший член уже не
потрібний, тому що f4=f2+f3. Для обчислення п’ятого достатньо пам’ятати
лише третій і четвертий тощо. Обчислюючи члени послідовності один за
одним, ми дістанемося будь-якого, почавши з перших двох. При цьому
щоразу ми використовуємо лише два останніх значення і, обчисливши
наступне, “забуваємо” перше з двох використаних.
Нехай дано номер n, n>2, і треба обчислити fn. Опишемо ці обчислення. З
попередніх міркувань випливає, що потрібні дві змінні для двох сусідніх
членів і третя для наступного (назвемо їх fa, fb і fc), а також змінна m
для зберігання номера останнього з обчислених членів.
Спочатку fa=1, fb=1, m=2, (*)
потім обчислимо fc:=fa+fb і збільшимо m на 1. Якщо значення fb і fc
зробити відповідно значеннями fa і fb (fa:=fb, fb:=fc), то обчислення
четвертого члена можна задати таким самим оператором fc:=fa+fb. Отже,
поки m
JLRTVZ\^dfhjz|~†????’”–??¤¦AA
V
X
?
?
?
U
Ue
Oзаписати відповідне рекурентне співвідношення;
визначити перші члени послідовності, що обчислюються без застосування
співвідношення;
сформулювати умову, за якої треба продовжувати застосування рекурентного
співвідношення.
Після цього згадані вище "деталі конструктора" та порядок їх
розташування в алгоритмі стають очевидними.
Програма – це абсолютно точний опис дій, які треба виконати. Її
неможливо написати, не сформулювавши чітко й точно, що ж саме повинно
бути виконано. Рекурентні співвідношення якраз і дають точне вираження
необхідних дій та служать надійною основою для написання програми.
Насмілимося запевнити читача, що витрати часу на попереднє формулювання
рекурентних співвідношень окупаються при написанні програми і дозволяють
уникнути багатьох помилок.
2.2. Системи рекурентних співвідношень
Є чимало задач, у розв'язанні яких використовуються не одна, а кілька
рекурентних послідовностей. Члени послідовності можуть залежати від
попередніх членів як "своєї", так і інших послідовностей. Ці залежності
записуються у вигляді систем рекурентних співвідношень. Насправді, ми
вже бачили зв'язані послідовності: члени послідовності 1!, 2!, 3!, …
залежать від їх номерів і попередніх членів. Але послідовність номерів
сама рекурентна, оскільки кожний номер на 1 більше попереднього.
Задачі
4.* Написати функцію обчислення кількості десяткових цифр натурального
числа.
5.* Один із варіантів алгоритму Евкліда обчислення найбільшого спільного
дільника чисел a і b (НСД(a,b)) грунтується на обчисленні рекурентної
послідовності {p}, де p1=max{a,b}, p2=min{a,b}, pn=pn-2 mod pn-1 при
n>2. Шуканим є останнє ненульове значення послідовності. Уточнити
алгоритм Евкліда у вигляді функції.
6. Послідовність {xn}, задана співвідношеннями
x1=(a+m-1)/2,
)/m при i > 1,
сходиться до a1/m. Запрограмувати обчислення a1/m при довільному
додатному дійсному a з точністю ? , тобто за потрібне число приймається
перше xn таке, що | xn-xn-1 | .
4.7. Послідовність сум {sn}, де sn=1+x+x2/2!+…+xn/n!, за умови 0? x2 просте, якщо не ділиться без остачі на жодне з
чисел 2, 3, … , n-1. Якщо ж воно ділиться хоча б на одне з них, то є не
простим, а складеним. Отже, n – просте тоді й тільки тоді, коли (n=2)
або (n>2 і n не ділиться на жодне з чисел 2, 3, … , n-1). Очевидно
також, що n – складене, якщо n>2 і ділиться хоча б на одне з чисел 2, 3,
… , n-1.
Таким чином, при n>2 треба перевірити подільність n на кожне з чисел
k=2, 3, … , n-1.
Результат перевірок можна запам’ятати у вигляді кількості d дільників
серед цих чисел. До початку перевірок d=0, тобто жодний дільник ще не
знайдений, і з кожним знайденим дільником d збільшується на 1. Тоді
умова d=0 є ознакою того, що число просте. Оформимо сказане у вигляді
алгоритму:
if n>2 then
begin
d:=0;
для всіх k=2, 3, … , n-1 перевірити, чи ділиться n на k:
якщо ділиться, то d:=d+1
if d>0 then n – складене
else n – просте
end
else n – просте
Уточнимо цей алгоритм. Нехай issimple, тобто “є_простим” – ім’я функції,
яку ми пишемо. Природно означити тип значень, що повертаються з неї, як
булів. Тоді “n – просте” і “n – складене” уточнюються як issimple:=true
і issimple:=false. На початку обчислень вважаємо, що число просте, тому
присвоюємо issimple:=true. Тоді достатньо оператора розгалуження з
умовою n>2 без else-гілки. Так само достатньо і скороченого оператора
розгалуження з умовою d>0.
Фраза “для всіх k=2, 3, … , n-1 перевірити, чи ділиться n на k” задає
повторення тих самих дій: перевірка подільності n на k та підготування
до наступної перевірки, тобто збільшення k на 1. Спочатку k=2. Умовою
продовження перевірок, очевидно, є умова k
begin
d:=0; k:=2;
while k
end
Цей алгоритм можна істотно поліпшити. Почнемо з дрібниць. За оператором
“if d>0 then …” змінній issimple фактично присвоюється значення виразу
not (d>0). Простіше написати: issimple:=not(d>0). Насправді змінна d
взагалі не потрібна. Дійсно, значенням issimple буде false, якщо хоча б
один раз виконується оператор d:=d+1. Замість нього напишемо
issimple:=false. Крім того, якщо n=2, то умова продовження k
issimple:= true; k:= 2;
while k
змінну m. З алгоритму випливає, що нам потрібна ще змінна для збереження
кількості простих чисел, які вже зустрілися. Нехай cs – ім’я цього
“лічильника простих чисел”. Спочатку cs=1, m=2 (у значенні лічильника
враховано перше просте число 2). Далі починається цикл:
якщо умова продовження cs
readln(k);
cs:=1; m:=2;
while cs
ділиться, то виписується значення k і виконується ділення, інакше k
збільшується, тому що менших дільників уже бути не може.
Наведене описання обчислень уточнюється в такому вигляді:
procedure simpdivisors(n:integer);
var k:integer;
begin
k:=2;
while n>1 do
begin
if n mod k = 0 then
begin writeln(k); n:=n div k end
else k:=k+1
end
end
?
Задачі
9. При яких значеннях n, простих чи складених, останні два поліпшення
алгоритму в прикладі 4.6 є істотними?
10. Напишіть два варіанти програми з прикладу 4.7, означивши функцію
issimple згідно першого й останнього варіантів алгоритму з прикладу 4.6.
Порівняйте час виконання програм за тих самих достатньо великих значень
n.
11. Програма simpi із прикладу 4.7 задає перебір усіх натуральних
підряд. Його легко скоротити приблизно втричі, якщо не перевіряти числа,
явно кратні 2 або 3. Справді, за будь-якого натурального m із шести
чисел 6m, 6m+1, 6m+2, 6m+3, 6m+4, 6m+5 достатньо перевірити тільки друге
й останнє, а інші чотири кратні 2 або 3 і не можуть бути простими.
Написати програму, що задає такий скорочений перебір.
Недоліком програми simpi є також те, що k-е просте число може виявитися
більшим, ніж maxint. Доповнити умову продовження її циклу так, щоб при
m=maxint подальші збільшення m були неможливі.
12.* Написати програму друкування всіх “близнюків”, тобто пар простих
чисел вигляду 6m-1 і 6m+1 для m>0, наприклад, 5 і 7, 11 і 13, 17 і 19
(але не 23 і 25). Природно, поки що мова йде про числа, не більші від
maxint (у розд. 12 ми опишемо, як подавати та обробляти “великі” числа).
13. Поміняти процедуру simpdivisors із прикладу 4.8 так, щоб дільники
друкувалися не стільки разів, скільки вони входять у розклад, а по
одному разу, але з указанням після знака “**” їх степеня, якщо він
більше 1. Наприклад, 13**2 за n=169, 2**3*3**2 за n=144, 2*5**2 за n=50.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
