Загальні властивості неперервних функцій
Загальні властивості неперервних функцій однакові як для функцій однієї
змінної, так і для функцій багатьох змінних.
, визначена і неперервна в обмеженій замкненій області D, є обмеженою.
Для функції однієї змінної замкненою областю D є сегмент, наприклад, [а,
b].
Сформулюємо теорему 3 для функції однієї змінної у = f(х). Функція f(х),
неперервна на [а, b], є обмеженою.
неперервна в інтервалі (0, 1), але вона в цьому інтервалі не обмежена.
і f(А) ? 0, то функція в достатньо малому околі точки А зберігає знак.
Сформулюємо теорему 4 в термінах функції однієї змінної:
якщо функція у = f (х) неперервна в точці а і f(а) ? 0, то функція в
достатньо малому околі точки а зберігає знак.
) виконується нерівність f(х) > 0.
-окіл точки f(а) (рис. 3.75).
такий, що f(х) > 0.
визначена і неперервна в деякій однозв’язній області D, причому в цій
області дві точки А (а1 а2, …, аn) і В (b1, b2, …, bn), в яких
функція набуває значень різних знаків:
f(А) 0,
то в цій області знайдеться принаймні одна точка С, в якій функція
перетворюється в нуль, тобто f(С) = 0.
Введемо поняття однозв’язної області. Множина точок простору Е„
називається простою дугою Жордана (простою кривою), якщо цей простір
можна дістати в результаті відображення деякого сегмента t0 ? t ? Т за
допомогою системи функцій
неперервних на цьому сегменті, причому двом різним значенням параметра t
відповідають, дві різні точки.
, то крива називається простою замкненою кривою.
Розглянемо просту криву, задану рівняннями
х = х(t), y = y(t) (5.18)
на площині. Якщо будь-які дві точки області, розміщеної на площині,
можна сполучити простою кривою, яка міститься в цій області, то область
називається зв’язною. Для утворення однозв’язної області необхідно
розглядати замкнену криву (5.18).
Якщо побудувати просту замкнену криву (5.18) на площині, то площина
розіб’ється на дві області — внутрішню і зовнішню.
?
??
??
??????
?Й?иться в D. На рис. 3.76 області а і б однозв’язні, а область в —
неоднозв’язна. Поняття зв’язної і однозв’язної областей поширюється і на
випадок n-вимірного простору.
) = 0.
називається коренем (нулем) функції f(х), а сформульована теорема
називається теоремою про корінь (про нуль).
На рис. б — три корені, а на рис., a — один.
неперервна в зв’язній області D (відкритій або замкненій) і набуває
різних значень у точках М1 і М2, то яким би не було число С, що
міститься між значеннями f(М1) і f(М2), існує принаймні одна така точка
М3, яка лежить всередині D, що
f(М3) = С
Сформулюємо теорему 6 для функції однієї змінної:
).
Доведення. Нехай А
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
