Пошукова робота на тему:
Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач.
Обчислення інтеграла Пуассона.
План
Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач
Маса пластинки
Статичні моменти і центр ваги пластинки
Момент інерції пластинки
Обчислення інтеграла Пуассона
11.5. Застосування подвійних інтегралів
до задач механіки
. Товщину пластинки вважаємо настільки малою, що зміною густини та
товщиною можна знехтувати.
Поверхневою густиною такої пластинки в даній точці
називається границя відношення маси площадки до її площі за умови, що
площадка стягується до даної точки.
у вибраній точці. Тоді для маси пластинки можна скласти приблизний
вираз у вигляді інтегральної суми.
.
і кожна елементарна область стягується в точку, дістаємо формулу для
обчислення маси пластинки:
. (11.29)
Рис.11.16
маси відповідних елементарних областей, то статичні моменти отриманої
системи матеріальних точок можна записати так:
.
,
. (11.30)
Як і у випадку означеного інтеграла, знаходимо координати
центра ваги пластинки:
,
. (11.31)
від цієї осі.
Метод складання виразів для моментів інерції пластинки
відносно осей координат такий самий , як і для обчислення статичних
моментів. Тому наведемо лише формули для моментів інерції відносно
координатних осей:
(11.32)
Рис.11.17 Рис.11.18
.
У механіці розглядається полярний момент інерції точки, що
дорівнює добутку маси точки на квадрат її відстані до даної точки
-полюса. Полярний момент інерції пластинки відносно початку координат
визначається за формулою
. (11.33)
.
Р о з в ‘ я з о к. За формулою (11.29) знаходимо (рис.
11.17):
(11.18).
Р о з в ‘ я з о к. Центральний момент інерції обчислюємо за
формулою (11.33)
.
11.6. Інтеграл Пуассона
Цей інтеграл називається інтегралом Пуассона.
Розглянемо подвійний інтеграл
одержимо
тобто необмежено розширяти область інтегрування, то одержимо невласний
подвійний інтеграл:
довільної форми розширюється на всю площину.
і центром в початку координат, то
Тоді
і
(11.34)
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
