UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75850
останнє поновлення: 2016-12-08
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваРозкладання елементарних функцій в ряд Маклорена (реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1841
Скачало216
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

2.5. Розкладання елементарних функцій в ряд Маклорена.

 

Рядом Маклорена функції f(x) називають степеневий ряд по степенях х,

який можна дістати з ряду (38) при х0 = 0:

 

(41)

 

З п. 2.4 випливає таке правило розкладання функції в ряд: щоб функцію

f(x) розкласти в ряд Маклорена потрібно:

 

а) знайти похідні f?(х), f?(х), ...., fп(х), ...;

 

б) обчислити значення похідних в точці х = 0;

 

в) записати ряд Маклорена (41) для даної функції і знайти інтервал його

збіжності;

 

г) визначити інтервал (–R; R), в якому залишковий член формули Маклорена

Rп (х) ? 0 при п ? ?.

 

Якщо такий інтервал існує (він може відрізнятись від інтервалу збіжності

ряду (41)), то в цьому інтервалі функція f (х) і сума ряду Маклорена

збігаються:

 

 

Розглянемо ряди Маклорена деяких елементарних функцій (вони часто

використовуються і тому їх варто запам’ятати):

 

(42)

 

(43)

 

(44)

 

 

(45)

 

(46)

 

††???–????????†??††††††††††††???

 

Доведемо формули (42) – (48).

 

Нехай f (x)=ex. Маємо:

 

 

отже знайдений ряд зберігається в інтервалі (– ?;+ ?);

 

 

(—?; + ?), а отже, і на всьому інтервалі (—?; + ?). Формулу (42)

доведено.

 

Нехай f (x) = sin x. Дістанемо

 

);

 

);

 

);

 

……………………………..

 

N;

 

 

;

 

 

тобто формулу (43) доведено.

 

3.Нехай f(х) = cos x. Формулу (44) можна довести так само, як і формулу

(43). Проте це можна зробити значно простіше, про диференціювавши

почленно ряд (43).

 

R.Маємо:

 

а) f’(x) =m(1+x)m-1, fn(x) =m(m-1) (1+x)m-2,…,

 

N;

 

N;

 

в) 1+ mx

 

 

 

, опускаємо.

 

дістаємо відомий розклад двочлена, який називають біномом Ньютона (гл.

5. п. 5.4.).

 

Збіжність біноміального ряду в кінцевих точках інтервалу (-1;1) залежить

від числа m.

 

Ряд ((45) збіжний до функції (1+ч)m в таких випадках:

 

;

 

;

 

.

 

Приймемо ці твердження без доведення.

 

і сума його дорівнює (1-х)-1.

 

6. Не зупиняючись на деталях, зазначимо, що коли у формулі (46)

покласти – х замість х, потім – х2 замість х і знайдені ряд про

інтегрувати, то дістанемо розклад в степеневий ряд функції ln(1+x) і

функції arctg x (формули (47), (48)).

 

Ряди (42) = (48) використовуються при знаходження степеневих рядів для

інших функцій.

 

Приклади

 

1.Розкласти в ряд функцію f(x) = x2 ln (1-x3).

 

Поклавши у форму (47) – х3 замість х, маємо

 

 

 

0

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ