UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЙмовірнісний зміст нерівності Йєнсена(реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1190
Скачало275
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат

 

на тему:

 

Ймовірнісний зміст

 

нерівності Йєнсена.

 

Нові інформаційні технології в освіті неможливі без нової інформації в

конкретних навчальних дисциплінах. В останні роки невпинно зростає

кількість прихильників виховання ймовірнісного світогляду школярів і

студентів, що вивчають математичні дисципліни. При цьому дуже важливу

роль відіграють приклади проникнення ймовірнісних ідей, методів і

результатів у неймовірнісні розділи математики. Про один з таких

прикладів йде мова у цій роботі.

 

Нерівністю Йєнсена в математиці називають нерівність:

 

, (1)

 

 

 

, то нерівність Йєнсена записують так:

 

, (2)

 

 

 

. В загальному вигляді нерівність Йєнсена містить замість середніх

арифметичних середні зважені. Тобто

 

(5)

 

 

 

Треба підкреслити, що нерівність Йєнсена має багато важливих застосувань

[1-5]. Зауважимо, що в дискретній формі нерівність була встановлена

О.Гельдером (Hoelder, 1889), а інтегральна нерівність – Й.Йєнсеном

(Jensen, 1906).

 

Інтегральну нерівність для угнутої функції записують так:

 

. (7)

 

 

 

, якщо

 

(9)

 

 

 

- лінійна функція.

 

диференційована в цьому проміжку.

 

дискретний розподіл має вигляд:

 

 

 

 

 

 

З точки зору теорії ймовірностей в означеннях (8) і (9) порівнюються

математичне сподівання (вибіркове середнє) функції і значення функції

від математичного сподівання аргумента (рис.1).

 

 

 

 

Рис.1. До означення опуклої (а) та угнутої (б) функцій.

 

 

 

апроксимується сукупністю прямолінійних відрізків, і ми одержуємо

шукане узагальнення.

 

має вигляд:

 

 

 

 

Математичне сподівання аргументу визначається так:

 

 

Математичне сподівання функції

 

.

 

Зрозуміло, що в цьому випадку краще скористатися процедурою групування

вибірки і, спираючись на попередній результат, довести нерівність

Йєнсена для опуклої (1) та угнутої (2) функцій.

 

- об'єм вибірки. Дискретний розподіл має вигляд:

 

 

 

 

.

 

Нерівність Йєнсена в цьому випадку має вигляд:

 

,

 

. (12)

 

 

 

стоїть математичне сподівання випадкового аргумента:

 

,

 

в правих частинах маємо математичне сподівання функції випадкового

аргумента:

 

.

 

Порівнюючи математичне сподівання функції випадкового аргумента і

значення функції від математичного сподівання аргумента, неважко

встановити, що (11) і (12) – це узагальнені означення опуклої і угнутої

функції відповідно (рис.2).

 

 

 

 

.

 

 

 

функції:

 

.

 

неоднакові. Така дискретизація застосовується при визначенні координат

центра ваги неоднорідного стержня. Тепер, спираючись на узагальнені

означення опуклої (11) і угнутої (12) функцій, неважко довести

нерівність Йєнсена з математичними сподіваннями (3) і (4). При цьому

дискретний розподіл має вигляд:

 

 

 

 

опукла) або вище дуги (якщо функція угнута).

 

:

 

.

 

:

 

.

 

, тому для опуклої функції

 

,

 

для угнутої

 

.

 

В теорії ймовірностей такий незбіг функції середнього і середнього

функції називають "парадоксом оцінювання" [6]. Дослідження парадоксів –

кращий спосіб досягти взаєморозуміння фахівців в різних областях науки.

Спроби вивчати будь-яку область математики за допомогою парадоксів

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ