UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЛінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами. Задача Коші (реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1431
Скачало241
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

з дисципліни: „Вища математика”

 

Розділ 6: „Диференціальні рівняння”

 

на тему:

 

„Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

 

Задача Коші.”

 

 

1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.

 

Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього

загального розв’язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь

із сталими коефіцієнтами.

 

Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими

коефіцієнтами.

 

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

 

1

 

дійсні числа.

 

в рівняння 1, дістанемо

 

 

то

 

2

 

буде розв’язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається

характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.

 

можливі три випадки:

 

 

);

 

;

 

Розглянемо кожен випадок окремо.

 

 

 

.

 

.

 

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно – спряжені:

 

 

,знайдемо розв’язки

 

 

За формулою Ейлера

 

 

маємо

 

 

 

 

в рівняння 1, дістанемо:

 

 

або

 

 

.

 

Ці розв’язки лінійно незалежні, оскільки

 

 

тому загальний розв’язок рівняння 1 запишеться у вигляді

 

3

 

.

 

та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:

 

 

або

 

 

), знайдемо другий частинний розв’язок рівняння 1:

 

 

- лінійно незалежні, тому загальний розв’язок рівняння 1 має вигляд:

 

.

 

Приклад 1:

 

.

 

Розв’язання :

 

шуканий розв’язок має вигляд:

 

.

 

Приклад 2:

 

Розв’язати рівняння:

 

 

Розв’язання:

 

Загальний розв’язок дістанемо за формулою 3:

 

.

 

Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння

із спеціальною правою частиною.

 

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

 

4

 

.

 

Загальний розв’язок такого рівняння являє собою суму частинного

 

розв’язку рівняння 4 і загального розв’язку відповідного однорідного

рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв’язку

неоднорідного рівняння.

 

Насамперед слід зазначити , що частинний розв’язок диференціального

неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації

довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною

розв’язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції

інтегрування.

 

Розглянемо деякі з таких рівнянь.

 

І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд

 

, 5

 

.

 

Можливі такі випадки:

 

не є коренем характеристичного рівняння

 

6 Тоді

диференціальне рівняння 4 має частинний розв’язок виду

 

- невизначені коефіцієнти.

 

дістанемо

 

.

 

цього рівняння;

 

збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є

простим коренем цього рівняння, то частинний розв’язок рівняння 4 треба

шукати у вигляді

 

;

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ