UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЛінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами (реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2955
Скачало207
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

 

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

 

(85)

 

де р, q —дійсні числа.

 

Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді

 

(86)

 

де k — стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши

функцію (86) в рівняння (85), дістанемо

 

(k2 + pk –q) = 0

 

? 0, то

 

k2 + pk + q = 0 (87)

 

Отже, якщо k буде коренем рівняння 87), то функція (86) буде розв'язком

рівняння (85). Квадратне рівняння (87) називається характеристичним

рівнянням диференціального рівняння (85).

 

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2. Можливі три

випадки:

 

);

 

);

 

).

 

Розглянемо кожен випадок окремо.

 

. У цьому випадку частинними розв'язками рівняння (85) є функції

 

 

 

 

Згідно з теоремою 4 (п. 3.2) загальний розв'язок рівняння (85) знаходять

за формулою

 

(88)

 

II. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

 

 

у формулу (86), знайдемо розв'язки

 

 

За формулою Ейлера

 

 

маємо

 

;

 

 

Зауважимо, що коли функція z(х) = u(х) + i?(x) є розв'язком рівняння

(85), то розв'язками будуть також функції u(х) та ?(x). Дійсно,

підставивши функцію z(x) в рівняння (85), дістанемо:

 

,

 

або

 

 

Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю (гл. 7,

п. 1.4). Це означає, що функції u та ? — розв'язки рівняння (85). Згідно

з цим зауваженням частинними розв'язками рівняння (85) є функції

 

 

Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки

 

,

 

тому загальний розв'язок рівняння (85) запишеться у вигляді

 

(89)

 

. За формулою (86) дістанемо один з розв'язків:

 

 

та підставивши їх у рівняння (85), дістанемо

 

 

або

 

 

= — р, тому 2k + ? = 0 і u" =0, звідки u = С1х + С2, де С1, С2 —

довільні сталі. Поклавши С1 = 1, С2 = 0 (нас цікавить який-небудь

розв'язок u(х) ? 0), знайдемо другий частинний розв'язок рівняння (85):

 

 

Розв'язки y1 та у2 — лінійно незалежні, тому загальний розв'язок

рівняння (85) має вигляд

 

(С1 +С2х) (90)

 

Приклади

 

1. Знайти загальний розв’язок рівняння

 

 

=2. За формулою (88) шуканий розв'язок має вигляд:

 

 

2. Розв'язати рівняння

 

 

1.2 = — 2 ± 3і. Загальний розв'язок дістанемо за формулою (89):

 

 

Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими

коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною

 

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

 

(91)

 

0 — задана функція, неперервна на деякому проміжку (а, b).

 

Згідно з теоремою п. 3.3, загальний розв'язок такого рівняння являє

собою суму частинного розв'язку рівняння (91) і загального розв'язку

відповідного однорідного рівняння. Загальний розв'язок однорідного

рівняння ми вже знаходити вміємо, тому розглянемо детальніше питання про

знаходження частинного розв'язку неоднорідного рівняння.

 

Насамперед слід зазначити, що частинний розв'язок неоднорідного

диференціального рівняння (91) можна знайти в квадратурах методом

-----> Page:

0 [1] [2] [3]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ