Найпростіші дії з матрицями
:
, потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.
Означення. Сумою двох матриць
є матриця
такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати
і віднімати можна лише матриці однакового розміру.
Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:
(1)
, які можна подати у вигляді
.
, яке можна записати так:
.
Позначивши
, (2)
подамо це лінійне перетворення у вигляді
,
або
……………………………………….
має вигляд
(3)
Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком
матриць В та А:С=ВА.
матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці
А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.
Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців
першого множника дорівнює числу рядків другого множника.
.
Лінійний n-вимірний простір
План:
Лінійний n-вимірний векторний простір.
Базис.
Власні значення та власні вектори матриць.
Векторний простір.
називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або
вектором-рядком:
.
називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається
розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до
запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.
.
Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх
відповідні координати.
.
можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину
дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у
тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають
скалярами.
Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його
координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, …,
0), або так само, як число нуль – знаком 0. Вектор –а = (-а1 , -а2, …,
-аm) називається протилежним вектору а = (а1 , а2, …, аm).
вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому
вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо
вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні
вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b
відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b.
(рис. 1)
Рис. 1
Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх
утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем
вектора a, а кінець – із кінцем вектора b, являтиме собою шукану
різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2)
Рис. 2
– протилежний напряму а (рис. 3).
Означення. Сумою двох векторів а та b називається вектор a+b, координати
якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:
.
на відповідні координати вектора а:
.
Вектори а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні
координати пропорційні:
називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система
векторів цього простору. Так систему векторів:
.
Розглянемо дві системи векторів:
(2)
(3)
.
Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них
виражається лінійно через іншу.
Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну
підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.
, то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на
максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків)
цієї матриці. Отже, з рангом можна пов’язати і максимальну кількість
лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.
Звязок між базами.
має базис:
(4)
, то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає,
що
(5)
.
задано два базиси
(6)
(7)
Кожен вектор нового базису (7) як і будь-який вектор однозначно можна
записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді
(8)
, стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому
базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е’.
Якщо розглянути дві матриці е і е’, стовпчиками яких будуть компоненти
векторів відповідно старого е і нового е’ базисів, то рівність (8) можна
записати у матричному вигляді
. (9)
З другого боку, якщо T’ – матриця переходу від басилу (7) до басилу (6),
то маємо рівність
(10)
Використовуючи (9) і (10) маємо:
З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до
іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці
переходу від одного до іншого взаємно обернені.
в цих двох базисах дає формула:
(11)
Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т-1 одержимо рівність
(12)
яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е’.
Власні числа і власні вектори матриці.
, де Е – одинична матриця називається характеристичною матрицею для
матриці А.
| називається характеристичним поліном матриці А, а його корені
називаються власними числами матриці А.
Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характеристичні
поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.
, або спектром матриці А.
, тобто:
(1)
– власним числом, що відповідає цьому власному вектору.
, в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.
має простий спектр.
, в якому матриця лінійного перетворення А буде набувати найпростішого
діагонального вигляду.
Розв’язання лінійних
рівнянь методом Гауса.
Метод Гауса розв’язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає
в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь
(1)
до трикутного вигляду
;
………….. (2)
.
За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення
виконаємо в таблиці:
х1 х2 …
хn 1
що дає змогу виявляти помилки.
Поділивши перший рядок на а11, позначимо
Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого
рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д.
Позначивши
дістанемо таблицю коефіцієнтів:
х1 х2 …
хn 1
.
Позначивши
,
і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю
коефіцієнтів:
х1 х2 х3
… хn 1
Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:
х1 х2 х3 …
хn-1 хn 1
. Запишемо відповідну систему рівнянь:
Цю систему розв’язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку
знаходить хn і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають
хn-1, і т.д.
a
b
a + b
a
b
b-a
а
-а
0,5а
-0,5а
0,5а
………………………………………….
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
