Пошукова робота на тему:
Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури Приклади
застосування означеного інтеграла до розв’язування простих задач
механіки, фізики та інших областей. Деякі застосування в економіці.
План
Маса плоскої лінії
Статичні моменти і центр ваги
Обчислення моментів інерції
Обчислення роботи
Деякі задачі прикладного характеру
1. Застосування інтегрального числення у фізиці,
механіці, техніці
1.1. Маса плоскої лінії
. Звідки
.
(саме цей випадок тут і розглядатиметься), то
, (10.13)
.
звідки одержимо формулу для обчислення маси кривої
(10.14)
1.2. Статичні моменти і центр ваги
.
Про статичний момент відносно осі говорять лише тоді, коли система
матеріальних точок (неперервна або дискретна) є плоскою, тобто
знаходиться в одній і тій самій площині, що й вісь. Якщо ж система
матеріальних точок не належить одній площині, то мова може йти лише про
статичний момент відносно площини.
– відстані зі знаком ”+” або “-” залежно від того, де знаходяться
точки (для точок, що лежать з одного боку від осі (площини) береться,
наприклад, знак “+”, тоді для точок, що лежать з іншого боку, знак “-”).
Отже,
(10.15)
,
Звідси
(10.16)
Розглянемо тепер питання про знаходження центра ваги плоскої фігури,
густина маси якої
Рис.10.11
. Отже,
Остаточно маємо
(10.18)
, матимемо
(друга теорема Гюльдіна).
. Легко перевірити , що об’єм тіла обертання
1.3. Обчислення моментів інерції
визначається так:
дана сума має границю і ця границя, що виражає визначений інтеграл, і
визначає момент інерції матеріальної лінії відносно початку координат:
(10.19)
:
(10.20)
(10.21)
і
(10.22)
Можна, наприклад, обчислити момент інерції стрижня відносно
його середини
то момент інерції кола буде
(10.23)
буде
Момент інерції
цієї маси відносно центра дорівнює
Рис.10.12
одержимо момент інерції круга відносно центра:
отримаємо
(10.24)
, відносно його осі виражається формулою (10.24).
1.4. Обчислення роботи
при переміщенні точки У випадку, коли сила постійна за величиною на
всьому шляху, то робота, яку виконує ця сила дорівнює добутку сили на
переміщення.
( величина її) неперервно змінюється в залежності від положення
матеріальної точки, тобто
наповнений водою (рис.10.13). Яку роботу необхідно виконати, щоб
викачати з нього воду?
звідки
Тоді
Рис.10.13
Тоді
Інтегруючи останню рівність, одержимо
за робочий день тривалістю 8 годин, якщо продуктивність праці на
протязі дня змінюється за емпіричною формулою
год, а потім падає.
можна виразити означеним інтегралом:
множник, що має розмірність одиниці продукції.
Рис. 10.14
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter