Пошукова робота на тему:
Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції
однієї та декількох змінних.. Необхідні і достатні умови. Найбільше і
найменше значення функції на замкнутому проміжку і в обмеженій замкнутій
області.
План
Монотонність функції, необхідні і достатні умови
Екстремум функції, необхідні і достатні умови
Найбільше і найменше значення функції на замкнутому проміжку
Екстремум функції декількох змінних.
Необхідні і достатні умови екстремуму для функції двох змінних
Найбільше та найменше значення функції в обмеженій замкнутій області
1. Екстремуми функцій
1.1. Зростання і спадання функцій
є внутрішньою точкою цього проміжку.
.
то вона називається зростаючою (спадною) на цьому проміжку.
2.Достатні ознаки зростання (спадання) диференційованої функції.
зростає (спадає).
.
Скористаємось означенням похідної
,
.
Тоді з попередньої рівності та умови теореми маємо
.
.
.
.
функція є зростаючою.
Теорему доведено.
.
не існує.
не існує. Але ж не кожна така точка буде розділяти інтервали
монотонності (рис. 6.11).
Рис.6.11
Сформулюємо правила дослідження функцій на зростання і спадання.
за першою похідною.
зберігає знак.
на кожному із цих інтервалів.
, інтервал спадання.
Приклад.
.
Р о з в ’ я з о к. Обчислимо похідну
.
. Розв’яжемо цю нерівність:
.
функція зростає; в інтервалах
функція спадає.
1.2. Екстремуми функцій
внутрішньою точкою
.
має максимум, якщо для всіх точок деякого околу цієї точки виконується
нерівність
. (6.85)
має мінімум, якщо для всіх точок деякого околу цієї точки виконується
нерівність
. (6.86)
Максимуми і мінімуми функції називаються її екстремумами.
Необхідні умови існування екстремуму.
.
, а тому
, одержимо:
.
Теорема 2. У точці екстремуму функції кількох змінних кожна її частинна
похідна першого порядку або дорівнює нулю, або не існує.
.
:
.
має максимум, тобто,
дорівнюють нулю або не існують.
виконуються рівності
(6.87)
Означення. Точки, в яких частинні похідні першого порядку деякі функції
дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками.
Із доведеної теореми витікає, що екстремум функції кількох змінних може
досягатись лише в критичних точках.
критичні точки знаходяться із системи рівнянь
(6.88)
Приклад.
Знайти критичні точки функції
Р о з в ’ я з о к. Прирівнюючи до нуля частинні похідні даної функції,
одержуємо систему рівнянь для знаходження координат критичних точок:
має чотири критичні точки:
.
Достатні умови існування екстремуму.
. Тоді:
;
;
.
на екстремум, треба:
, причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми
точками області існування функції).
в цих точках існує);
3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної
першого порядку.
Приклади.
.
Р о з в ’ я з о к. 1). Знаходимо
.
:
Звідси визначаємо стаціонарні точки
2). Точок, в яких похідна не існує, немає. Отже, стаціонарні точки є
єдиними критичними точками заданої функції.
3). Розглянемо інтервали
.
.
Тоді:
похідна знак не змінює; точка не є екстремальною для заданої функції
, яка не
є точкою
.
Друге правило дослідження функції на екстремум. Щоб
дослідити функцію на екстремум, треба знайти:
1) стаціонарні точки заданої функції
2) похідну другого порядку в стаціонарній точці.
мінімум.
Приклад. Користуючись другим правилом, дослідити функцію на екстремум.
. Прирівнюємо її до нуля і розв’язуємо рівняння
.
:
.
.
Достатня умова екстремуму функції двох змінних.
має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Розглянемо
вираз
.
Тоді
,
екстремуму не має.
може бути, може і не бути.
.
:
.
Знаходимо частинні похідні другого порядку:
:
.
функція не має ні максимуму, ні мінімуму.
:
.
6.15.3. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції
, в яких функція дорівнює своєму найбільшому (найменшому) значенню.
Теорема тільки стверджує, що такі точки існують. Це можуть бути як
внутрішні точки відрізка, так і його кінці.
.
.
Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв’язуючи рівняння
,
.
Точок, в яких похідна не існує, немає.
. Маємо
, потрібно знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти
їх з найбільшими (найменшими) значеннями функції на границях області:
найбільше і найменше із цих значень і буде найбільшим і найменшим
значенням функції в даній області.
.
Р о з в ’ я з о к.
Знайдемо критичні точки функції:
;
;
, то
функція приймає значення
.
Рис.6.12
Дослідимо поведінку функції на границях області.
;
.
:
.
Зауваження. До знаходження відповідно найбільшого чи
найменшого значення певної функції зводиться цілий ряд практичних задач.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
