UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75838
останнє поновлення: 2016-12-03
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваНевласні інтеграли (реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2151
Скачало291
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Невласні інтеграли

 

Поняття та різновиди невласних інтегралів

 

Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує,

якщо виконані умови:

 

1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;

 

2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну

кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то

визначений інтеграл називають невласним.

 

Якщо не виконується перша умова, тобто b = ? або а = ? або а = -? та b =

?, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.

 

називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції,

необмеженої в точках відрізку інтегрування.

 

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні

інтеграли першого роду).

 

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +?) і інтегрована на

будь-якому відрізку [а, b], де — ? < a < b < +?. Тоді, якщо існує

скінченна границя

 

(51)

 

її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

 

(52)

 

Таким чином, за означенням

 

(53)

 

У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну

функцію f(x) — інтегровною на проміжку [а; +?).

 

Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52)

називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) —

неінтегровною на [a; +?).

 

Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку

(-?; b]:

 

(54)

 

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

 

(55)

 

де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує

або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна

довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору

числа с.

 

З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею

інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею

інтегрування.

 

Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а;

+?) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він

виражає площу необмеженої області (рис. 7.12).

 

рис. 7.12

 

Приклад.

 

Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:

 

 

 

а) За формулою (53) маємо

 

 

Отже інтеграл а) збігається.

 

 

Оскільки ця границя не існує при а ? -?, то інтеграл б) розбіжний.

 

 

Отже інтеграл в) розбіжний,

 

= 1, то

 

 

? 1, то

 

 

? 1.

 

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на

його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати

інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення

деякі ознаки збіжності.

 

Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +?) функції f(x) і g(x) неперервні і

задовольняють умову 0 ? f(x) ? g(x), то із збіжності інтеграла

 

(56)

 

випливає збіжність інтеграла

 

(57)

 

а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).

 

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа

більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа

меншої області є також скінченне число; якщо площа меншої області

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ