Невласні інтеграли
Поняття та різновиди невласних інтегралів
Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інтеграл існує,
якщо виконані умови:
1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;
2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну
кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то
визначений інтеграл називають невласним.
Якщо не виконується перша умова, тобто b = ? або а = ? або а = -? та b =
?, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.
називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції,
необмеженої в точках відрізку інтегрування.
1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні
інтеграли першого роду).
Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +?) і інтегрована на
будь-якому відрізку [а, b], де — ? 0 збігається. Маємо
Перший інтеграл в правій частині цієї рівності збігається, бо
— 1, то
,
в чому можна пересвідчитись, обчислюючи останній інтеграл частинами і
враховуючи, що
).
= 1, то
(93)
інтегруючи частинами, дістанемо
звідки
Г(n +1) = nГ(n) (94)
N:
Г(n +1) = n!
N виражається через n!. Проте вона визначена і для нецілих додатних
значень аргументу, тобто продовжує факторіальну функцію з дискретних
значень аргументу на неперервні. Гамма-функція не є елементарною
функцією. Графік цієї функції зображено на рис. 7.35. Властивості
гамма-функції досить добре вивчені і значення її протабульовані в
багатьох довідниках, наприклад в [19].
Наводимо без доведення формулу Стірлінга для гамма-функції:
= n і помножити її на n, дістанемо
(95)
Бета- і гамма-функції пов’язані між собою співвідношенням
(96)
Приклади
маємо
.
Враховуючи результат попереднього прикладу, дістанемо
.
Маємо
згідно з формулою (96) дістанемо
Завдання для самоконтролю
Які інтеграли називаються інтегралами, залежними від параметра?
Сформулювати теореми про неперервність, диференціювання та інтегрування
Інтеграла, залежного від параметра.
).
N.
). Як пов’язані між собою бета- та гамма-функції?
Довести, що
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
