Пошукова робота
на тему:
Системи координат (декартова, полярна, циліндрична, сферична). Довжина і
координати вектора. Векторний простір. Лінійна залежність і незалежність
системи векторів.
План
Базис.
Лінійна залежність і незалежність векторів.
Декартова система координат.
Довжина і координати вектора.
Поділ відрізка в заданому відношенні.
Полярна система координат.
Циліндрична система координат.
Сферична система координат.
Заміна системи координат.
1. Базис
Довільна впорядкована (взята в певному порядку) трійка некомпланарних
векторів називається базисом простору.
Базисом на площині називаються два неколінеарних вектори,
взяті в певному порядку.
Базисом на прямій називається довільний ненульовий вектор на
цій прямій.
Ніякі два вектори базису в просторі неколінеарні, оскільки
в противному випадку всі три були б компланарні. Так само вектори базису
на площині ненульові (якщо хоча б один із них був нульовий, то вони були
б колінеарні).
Якщо деякий вектор представити як лінійну комбінацію інших
векторів, то говорять, що він розкладений за цими векторами.
Із шкільного курсу математики відомі такі твердження:
Кожний вектор, що паралельний деякій прямій, може бути
розкладений за базисом на цій прямій.
Кожний вектор, що паралельний деякій площині, може бути
розкладений за базисом на цій площині.
Кожний вектор може бути розкладений за базисом в просторі.
Координати вектора в кожному випадку визначаються
однозначно.
Очевидно також, що рівні вектори мають однакові координати.
При множенні вектора на число його координати множаться на
це число.
то
При додаванні векторів додаються їх координати.
то
2. Лінійна залежність векторів
Лінійна комбінація декількох векторів називається
тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. Лінійна комбінація
не тривіальна, якщо хоча б один із її коефіцієнтів відмінний від нуля.
є нульовий, то ці вектори лінійно залежні. Взявши при нульовому
вектору коефіцієнт 1, а при всіх інших – нулі, одержимо нетривіальну
лінійну комбінацію, що дорівнює нулю.
Теорема. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки
тоді, коли один із них розкладається в лінійну комбінацію інших.
і хоча б один із коефіцієнтів, наприклад,
.
лінійно залежні. Теорема доведена.
Довільних два колінеарних вектори лінійно залежні, і
навпаки, два лінійно залежних вектори колінеарні.
Довільних три компланарних вектори лінійно залежні, і
навпаки, три лінійно залежні вектори компланарні.
Кожних чотири вектори лінійно залежні.
Ці твердження пропонуємо читачеві довести самостійно.
3. Декартова система координат
і розглянемо довільну точку
можна співставити впорядковану трійку чисел – координати його
радіус-вектора.
Означення. Декартовою системою координат в просторі
називається сукупність точки і базису.
Точка носить назву початку координат; прямі, що проходять
через початок координат в напрямку базисних векторів, називаються осями
координат. Перша – віссю абсцис , друга – віссю ординат, третя – віссю
аплікат. Площини, що проходять через осі координат, називаються
координатними площинами.
в розглядуваній системі координат .
Перша координата називається абсцисою, друга – ординатою, третя –
аплікатою.
Детальніше про метод координат можна ознайомитися в п.3.1.
(рис.2.5).
.
на координатні осі.
називаються компонентами
відносно системи координат
.
.
Тому
(2.1)
Рис.2.5
, то (рис.2. 6)
(2.2)
Рис.2.6
Цей факт доводиться досить легко.
, що випливає безпосередньо з
правила віднімання векторів.
4. Поділ відрізка в заданому відношенні
(рис. 2.7).
.
.
Рис.2.7
.
Оскільки два вектори рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх
відповідні координати, то
(2.3)
знайдені.
і з формули (2.3) одержимо координати середини відрізка
(2.4)
5. Полярні координати
– полюс і проведемо півпряму
– полярну вісь (рис.2.8).
, як правило, відраховується від полярної осі проти годинникової
стрілки (на рис. 2.8) це показано дуговою стрілкою).
.
.
.
, причому полюс полярної
Рис.2.8 системи збігається з початком координат
прямокутної.
прямокутної системи.
знаходимо
. (2.5)
. Звідси
Ці формули дозволяють здійснити перехід від прямокутної до
полярної системи координат.
6. Циліндрична система координат
. Формули, що зв’язують ці дві системи координат, мають вигляд
(2.6)
.
.
.
Циліндрична система часто використовується у багатьох
задачах математики, зокрема – в інтегральному численні.
7. Сферичні координати
і
.
Рис.2.9 Рис.2.10
.
Сферична система координат теж широко використовується в
ряді галузей математики, зокрема при обчисленні потрійних інтегралів.
Зв’язок між сферичною і декартовою системою координат
описується формулами
. (2.7)
Наприклад, перше з цих співвідношень доводиться так:
, що і треба було довести.
Інші співвідношення доводяться аналогічно.
9. Зміна системи координат
через
вважаючи відомими положення нової системи координат
і координати нових базисних векторів в старому базисі, що складають
матрицю переходу від базису
.
В матриці переходу стовпці – це координати нових базисних векторів
.
зв’язані рівністю
в координатній формі
представляють закон перетворення координат точки при переході від
однієї декартової системи координат до іншої.
Тоді (рис.2.11)
Рис.2.11а Рис.2.11б
ставиться в протилежному випадку, коли новий базис не може бути
одержаний поворотом старого (рис.2.1б). Оскільки
одержимо
(2.8)
причому при повороті системи координат береться верхній знак.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
