МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КОЛОМИЙСЬКИЙ ЕКОНОМІКО-ПРАВОВИЙ КОЛЕДЖ
РЕФЕРАТ
з дисципліни „Вища математика”
розділ №3 „Диференціальне числення”
на тему: „Теореми про диференціальні функції”
Виконала:
студентка групи Б–13
Довганюк Оксана
Перевірила:
Лугова Л.Б.
Коломия 2003 р.
– 1–
Правило Лопіталя
Теорема 1. Нехай в околі точки а задано неперервно диференційовані
функції f(x), ?(x). Причому f(а) = ?(а) = 0. Тоді в разі існування
границі відношення похідних цих функцій при х ( а існує і границя
відношення самих функцій при х ( а:
(1)
з околу точки а, на якому для функцій f (x) і ?(x) виконуються умови
теореми Коші. Отже між точками а і х, знайдеться точка ?, така що
або
(2)
Переходячи в рівності (2) до границі при х ( а і враховуючи теорему про
границю частки двох функцій, дістаємо (1).
Зауваження 1. Правило Лопіталя можна застосувати кількаразово, якщо для
відповідної функції або похідної виконуються умови теореми Коші.
Зауваження 2. Функції f(x), ?(x), які неперервними і диференційованими
в околі точки х = а, у самій точці а можуть бути не визначеними. Але
якщо існують границі
Якщо функції f(x) і ?(x) невизначені в точці х = а, то визначаємо
значення функцій f(x) і ?(x) та їх граничні значення при х ( а:
це можна зробити, оскільки ми розглядаємо границю відношення функцій,
припускаючи, що в околі точки а виконується умова теореми Коші.
Теорема 2. Нехай функції f(x) і ?(x) неперервні і диференційовані на
пів прямій с 6
gd _e
0
X
Z
°
?
?
¶
?
1/4
3/4
A
A
Ae
O
U
Ue
TH
a
?????? ? ?????? ? ?????? ? ??????(?(?a
ae
ae
e
e
i
i
u
$~?‚„†?aeeeiiooeo-
-
"
$
4
6
L
‚
„
?
¬
®
°
I
?
th
?
a$gdR&m
j
R7
? Очевидно, цю задачу найпростіше можна „розв’язати” за допомогою
калькулятора. Але ж калькулятор дає лише відповідь. А питання про те,
які він при цьому виконує дії, залишається відкритим. Формула Тейлора і
вказує, які арифметичні дії потрібно виконати над х, щоб одержати sin x.
Іншими словами, формула Тейлора дає змогу зобразити дану функцію
многочленом, що зручно для складання програм і обчислень цієї функції на
ЕОМ.
Ще одне практичне застосування цієї формули пов’язане з обробкою
числових експериментальних даних. Якщо в результаті експерименту
одержимо масив значень (хі ; уі), то спочатку будують графік залежності
у =,а потім цю залежність описують аналітично, причому, як правило, у
вигляді многочлена.
Обґрунтування можливості представляти функцію многочленом дає формула
Тейлора.
Теорема. Нехай функція має в точці х0 і в деякому її околі похідні до
(п+1)-го порядку включно, і нехай х – довільне значення аргументу із
вказаного околу (х ( х0). Тоді між точками х0 і х знайдеться така точка
с, що справедлива формула
(1)
Позначимо многочлен, що стоїть у правій частині формули (1), через ( (х,
х0):
(2)
Його називають многочленом Тейлора степеня п для функції.
Різницю між функціями f(х) і ( () позначимо через Rп (х):
Теорема буде доведена, якщо встановимо, що
(3)
де точка С лежить між точками х0 і х.
, і розглянемо функцію
. (4)
Ця функція задовольняє всі умови теореми Ролля, тому знайдеться точка
с ( (х0; х) для якої
. (5)
Якщо в функцію (4) підставити значення функції ( (x, t) з формули (2) і
результат про диференціювати по t, то знайдемо
. (6)
Покладемо у формулі (6) t = с, тоді з рівності (5) дістанемо
.
Розв’язуючи це рівняння відносимо Rп (х), дістанемо формулу (3).
Формула (1) називається формулою Тейлора для функції f(х) в околі точки
х0, а вираз (3) для Rп (х) – залишковим членом у формулі Лагранжа.
Величина Rп (х) показує, яку помилку ми робимо, замінюючи функцію f(х)
її многочленом Тейлора (2).
При цьому формулу (3) можна використати для того, щоб оцінити величину
Rп (х) при х ( х0 і фіксованому п, а також при п ( ? .
Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (1) при х0 = 0:
(7)
де точка с знаходиться між 0 і х (с = ( х, 0 ( ( ( 1).
Подамо формулу (1) через диференціали вищих порядків. Для цього
покладемо в ній х – х0 = (х, х = х0 + (х:
(8)
Оскільки f(х0 + (х) – f(х0 )= (у, f (п)(х0) (хп = dпу, то формулу (8)
можна записати у вигляді
. (9)
Покажемо, що коли функція f (п+1)(х) в околі точки х0 обмежена, то
залишковий член Rп (х) при х ( х0 є нескінченно малою вищого порядку,
ніж (х – х0)п:
,
тому, що добуток обмеженої величини на нескінченно малу є величина
нескінченно мала.
(це відомі формули для наближених обчислень за допомогою першого
диференціала); з точністю до величини ((х(3
;
з точністю до величини (х4
.
Те саме можна сказати про формулу (1): для тих значень х, для яких
залишковий член Rп (х) достатньо малий, многочлен Тейлора (2) дає
наближене значення функції f(х).
виявляється найменшою.
Рис. 1
Із формули (3) видно, що залишковий член Rп (х) може бути малим навіть
при великому відхиленні х від х0, якщо взяти достатньо великим порядок п
многочлена Тейлора, тому, що факторіал при збільшенні п росте швидше
степеня.
Приклади
Написати формулу Маклорена для функції f(х)= sin x і оцінити залишковий
член. Побудувати функцію і чотири перших многочлени Тейлора.
Оскільки
,
то
.
Підставивши значення похідних у формулу (7), дістанемо для функції f(х)=
sin x формулу Маклорена
,
де с лежить між 0 і х .
, то для залишкового члена справедлива оцінка
.
. Покладемо k = 4, тоді
.
Це означає, що наближена формула
з точністю до п’яти знаків.
наближає функцію sin x з точністю до 0,01. На рис. 2 показано, як із
збільшенням степеня п розширюється „сфера дії” перших трьох многочленів
Тейлора:
і т. д.
Рис.2
Оскільки функція f(х)= sin x і її многочлени Тейлора є функції непарні,
то на рис. 2 зображена лише „половина” графіків.
знайти формулу Маклорена для функції f(х)=ln (1 + х).
Знаходимо значення даної функції і її похідних при х = 0:
Підставляючи значення похідних у формулу Маклорена, маємо
.
Розкласти за формулою Маклорена функції:
, ( ( R.
Аналогічно до попереднього розв’язання маємо:
, який зображав би цю функцію на відрізку [-1; 1] з точністю до 0,001.
Обчислити наближене значення е.
З попереднього прикладу маємо
підберемо таке п, при якому модуль залишкового члена був би меншим від
числа 0,001, маючи на увазі, що | х | ( 1, число с лежить між 0 і х та
ес ( е|х| ( е:
Отже, п = 6, тому з точністю до 0,001 справедлива наближена формула
.
Якщо в цій формулі покласти, наприклад, х = 1, то матимемо наближене
значення числа е:
.
.
Маємо
Поклавши у формулі Тейлора (1) х0 = 1 і п = 3, дістанемо
,
де с лежить між 1 і х, тому
.
Формулу (1) можна записати у вигляді
. (10)
, тому формула (10) матиме вигляд
. (11)
Ця формула називається формулою Тейлора для многочлена.
Приклади
Розкласти многочлен Р3(х) = 1 – 2х + 3х2 – 4х3 за степенями бінома х +
1.
Скориставшись формулою (11) при х0 = –1, маємо
тому
.
Розкласти многочлен Рп(х) = (b + x)n за степенями х.
, тому, поклавши у формулі (11) Рп(х) = (b + x)n , х0 = 0, дістанемо
відому формулу бінома Ньютона:
(12)
х
х
х0
0
у
Rn(x)
((x1; x0)
f(x)
х
0
у
у = х
у = sin х
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
