UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДиференціальні рівняння вищих порядків (реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось797
Скачало235
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Диференціальні рівняння

 

вищих порядків.

 

1 Основні поняття та означення

 

Диференційне рівняння n-го порядку не розв’язані відносно похідної має

вигляд:

 

F(x,y,y`,…,y(n-1)) (4.1)

 

А розв’язане відносно y(n) має форму

 

y(n)=f(x,y,y`,…,y(n-1)) (4.2)

 

O.1 Функція y=y(x) визначена і n раз неперервно диференційовна на

(a,b), називається розв'язком диференційного рівняння (1), якщо вона на

(a,b) перетворює в тотожність :

 

(4.3)

 

Будь-якому розв'язку диференційного рівняння (1) відповідає на площині

(x,y) деяка крива, яку будемо називати інтегральною.

 

2 Динамічна інтерпретація диференційного рівняння другого порядку.

Консервативні системи.

 

мал. 4.1).

 

Від диференційного рівняння (4.5) можна перейти до системи

 

(4.6)

 

- неперервні функції разом з своїми частинними похідними в деякій

області D, мають ту властивість, що, якщо x(t), y(t) – розв'язки

системи, то і x=x(t+c), y=y(x+c), де с - довільна константа, теж є

розв'язком.

 

Система (4.7) називається автономною або стаціонарною.

 

, то така точка нази вається особливою. В пожальшому будемо розглядати

тільки ізольовані точки, тобто такі, в деякому малому околі яких немає

інших особливих точок.

 

В реальних дінамічних системах енергія розсіюється. Роз сіювання (

дисинація) енергії проходять в зв'язку з наявністю тертя. В деяких

системах проходить повільне розсіювання енергії і їм можна знехтувати.

Для таких систем має місце закон збереження енергії: сума кінетичної і

потенціальної енргії постійна. Такі системи називають консервативними.

 

Розглянемо консервативну систему:

 

(4.8)

 

Від (4.8) перейдемо до наступної системи :

 

(4.9)

 

Виключаємо в (4.9) t:

 

, mydy=-f(x)dx (4.10)

 

Припустимо, що при t=t0: x(t0)=x0, y(t0)=y0 і проінтегруємо (4.10) від

t0 до t :

 

(4.11)

 

(4.12)

 

+V(x0) – нова енергія, то (4.12) виражає закон збереження енергії.

 

+V(x)=E (4.13)

 

Співвідношення (6.13) задають інтегральні криві на площині. Вони будуть

різні і залежать від E.

 

Ми дали механічну інтерпретацію диференційних рівняннянь другого

порядку. Зупиняємося на геометричной.

 

Розглянемо f(x,y,y`,y``)=0 і перепишемо його у вигляді (4.14)

 

)=0 (6.15)

 

)3/2 – кривизна кривої, то диференційне рівняння другого порядку являє

собою зв'язок між координатами, кутом нахилу дотичної та кривізною в

кожній точці інтегральної крівої.

 

3. Задача Коші, єдиність розв'язку задачі Коші.

 

Розглянемо диференційне рівняння (4.2) і поставимо задачу Коші: серед

всіх розв'язків диференційного рівняння (4.2) знайти такий y=y(x), який

задовольняє умовам

 

y(x0)=y0, y`(x0)=y0,…,y(n-1)(x0)=y0n-1 , де x0,y0,y01, y02,…,y0n-1

–задані числа, (4.15)

 

x0 – початкове значення незалежної змінної,

 

y0,y01, …y0n-1 –початкові данні.

 

Для диференційного рівняння другого порядку

 

(4.17)

 

задача Коші заключається в тому, щоб знайти такий розв'язок

диференційного рівняння (4.17), який би задовольняв умовам:

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ