Реферат на тему:
Диференціальні рівняння першого порядку,
не розв’язані відносно похідної.
1. Основні поняття і означення, теорема про достатні умови існування і
єдності розв’язку.
Диференціальне рівняння першого порядку, не розв’язані відносно
похідної має вигляд
(5.1)
-ої степені.
, визначена і
(5.2)
називається розв’язком Д.Р. (5.1), якщо вона після підстановки
перетворює Д.Р. (5.1) в
тотожність
і вона являється розв’язком Д.Р.(5.1).
, визначає розв’язок Д.Р.(5.1) в параметричній формі, якщо
.
, скільки напрямків поля визначає Д.Р. в цій точці. В противному – не
єдиний розв’язок.
Теорема 5.1. (про існування і єдиність розв’язку задачі Коші).
задовільняє наступним умовам:
;
;
;
? Без доведення ?
, ми знайдемо дійсні розв’язки
(5.3)
.
має загальний інтеграл
(5.4)
.
Інколи замвсть співвідношення (5.4) записують
(5.5)
. Всі вони будуть входити в (5.4) або (5.5).
в вигляді
(5.6)
яке називається загальним інтегралом Д.Р. (5.1).
задано в вигляді
(5.7)
то воно називається загальним розв’язком Д.Р. (5.1)
-комплексні. Ми таких Д.Р. не будемо розглядати, тому відповідні їм
розв’язки треба виключати.
, заданих в параметричному вигляді
(5.8)
будемо називати загальними розв’язками Д.Р. в параметричній формі.
Д.Р. (5.1) будемо називати частинним розв’язком, якщо в кожній його
точці задача Коші має єдиний розв’язок.
називається особливим розв’язком, якщо в кожній його точці порушується
єдинність розв’язку задачі Коші.
, Д.Р. (5.1) може мати розв’язки, які являються ні частинними, ні
особливими.
буде особливим, якщо буде особливим хоча б для одного з Д.Р. (5.3).
Приклад 5.1.
(5.9)
– загальний інтеграл.
(мал. 5.1).
(5.11)
.
Розв’язки (10),(11) – частинні розв’язки. Особливих розв’язків немає.
2. Знаходження кривих, підозрілих на особливий розв’язок.
.
, тоді
(5.12).
буде необмеженою при умові
(5.13)
Таким чином, криві, підозрілі на особливий розв’язок будуть визначатися
з системи
(5.14)
Розв’язок системи (5.14)
=0 (5.15)
дискримінантна крива. Якщо вона задовільняє Д.Р. (5.1) і в кожній точці
порушується єдність, то це буде особливий розв’язок.
Приклад 5.2.
(5.16)
(5.17)
.
5.3. Загальний метод введення параметра.
Розглянемо Д.Р. (5.1). Припустимо, що воно допускає параметризацію
(5.18)
.
ми з Д.Р. (5.1) завжди зможемо привести до Д.Р., яке розв’язане
Відносно похідної.
Тому
– за залежну, тоді прийдемо до Д.Р.
(5.19)
Якщо
(5.20)
загальний розв’язок Д.Р. (5.19), то загальний розв’язок Д.Р. (5.1) можна
отримати в параметричній формі.
(5.21)
Розглянемо деякі частинні випадки:
А. Д.Р., розв’язані віднлсносно шуканої функції.
Це рівняння має вигляд
(5.22)
, тоді
(5.23)
Маємо
Звідки
(5.24)
– загальний розв’язок Д.Р. (5.22).
.
Б. Випадок, коли Д.Р. розв’язане відносно незалежної змінної.
Це рівняння має вигляд
(5.25)
. Тоді
, отримаємо
(5.26)
– загальний інтеграл Д.Р. (5.26), то
(5.27)
загальний інтеграл Д.Р. (5.25).
-може бути особливим розв’язком Д.Р. (5.25).
Розглянемо тепер більш прості випадки, коли рівняння можна
проінтегрувати.
В. Рівняння Лагранжа.
Це рівняння має вигляд
(5.28)
. Тоді
(5.29)
З (5.29) маємо
(5.30)
(5.31)
– розв’язок Д.Р. (5.31). Тоді загальний розв’язок рівняння Лагранжа
запишемо в параметричній формі
(5.32)
Особливі розв’язки можуть бути там, де
(5.33)
тобто
(5.34),
– корені рівняння (5.33).Розв’язок (5.34) може бути частинним або
особливим.
Г. Рівняння Клеро.
.
(5.35)
, тоді
(5.36)
, отримаємо
(5.37)
Рівняння (5.37) розпадається на два
(5.38)
, підставляючи яке в (5.35) будемо мати загальний розав’язок
(5.39)
, разом з (5.35) утворює параметричні розв’язкі
(5.40)
Розв’язок (5.40) являється особливим, так як він співпадає з _______.
Дійсно
звідки
(5.41)
Дискримінантна крива (3.41) співпадає з розв’язком (3.40).
Приклад 5.3.
.
Отримали лінійне рівняння
Його розв’язок
(5.42)
(5.43)
:
(5.44)
Знайдемо ті розв’язки, яким відповідають
Перший розв’язок – офівфісобливий, другий – частинний.
Приклад 5.4.
Це рівняння Клеро. Його загальний розв’язок –
Запишемо дискримінантну криву
.
4. Неповні рівняння.
а). Д.Р. які містять тільки похідну.
Це рівняння вигляду
(5.45)
Рівняння (5.45) може мати скінчену або нескінчену кількість дійсних
розв’язків.
(5.46)
.
Інтегруємо (5.46)
(5.47)
то
(5.48)
Д.Р. (5.45) є системою прямих ліній, які можна записати у вигляді
(5.48). При цьому в (5.48) можуть входити комплексні розв’язки Д.Р.
Приклад 5.5.
.
б) Д.Р., які не містять шуканої функції мають вигляд
(5.49)
Якщо (5.49) можна розв’язати відносно похідної
(5.50)
то
(5.51)
являється загальним інтегралом Д.Р. (5.49).
не можна, а допускається параметризація
(5.52)
тобто
(5.53)
Тоді загальний розв’язок знаходять в параметричній формі
(5.54)
Якщо Д.Р. (5.49) має вигляд
(5.55)
. Загальний розв’язок запишеться в формі
(5.56)
Приклад 5.6.
.
.
Маємо
Загальний розв’язок в параметричній формі.
в) Д.Р., які не містятьнезалежної змінної.
Це рівняння вигляду
(5.57)
, тобто
(5.58)
то
(5.59)
).
, але воно допускає параметризацію
(5.60)
то
(5.61)
Загальний розв’язок Д.Р. (5.57) в параметричній формі.
Приклад 5.7.
.
звідки
зашальний розв’язок нашого рівняння.
г) Узагальнено однорідні рівняння.
виміру, тобто
(5.62)
Зробимо заміну
(5.63)
– нова шукана функція. Маємо
. З іншої сторони
(5.64)
Підставимо (5.63),(5.64) в Д.Р. (5.1)
отримане рівняння
(5.65)
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter