UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДиференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші(пошукова робота)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1827
Скачало272
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Пошукова робота на тему:

 

Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до

диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача

Коші.

 

План

 

Вступні відомості про диференціальні рівняння

 

Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до

диференціальних рівнянь

 

Диференціальні рівняння першого порядку

 

Задача Коші

 

Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку

 

12. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

 

12.1. Вступні відомості про диференціальні рівняння

 

-го порядку такий:

 

.

 

.

 

            Інтегруючи, отримаємо:

 

,

 

 – довільна стала.

 

 – довільна стала

 

             Розглянемо приклади.

 

             Задача 1. Записати рівняння кривої, якщо відомо, що точка

перетину будь-якої дотичної до кривої з віссю абсцис однаково віддалена

від точки дотику та від початку координат.

 

 .                   

 

 

 

 

 

- координати точки дотику.

 

 

                                         Рис.12.1

 

 в рівняння дотичної:

 

 

 

 

Тоді

 

 

 

Після нескладних перетворень отримаємо диференціальне рівняння першого

порядку

 

 

 

 ).

 

            Р о з в ‘ я з о к. За другим законом Ньютона

 

 

 ( ми беремо її із знаком мінус, оскільки вона направлена в сторону, що

протилежна напрямку швидкості).Отже,

 

 

 

, яка б тотожньо задовольняла даному диференціальному рівнянню.

Очевидно, що таких функцій буде безмежна множина.

 

Неважко перевірити, що всяка функція вигляду

 

 

 

            Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

 

 

 то можна записати у вигляді

 

.

 

В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв’язане

 

відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування

та єдності розв’язку диференціального рівняння.

 

            Теорема. Якщо в рівнянні

 

 

 

 

називається початковою умовою. Вона часто записується так:

 

 

            Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, що

задовольняє початковій умові, називається задачею Коші.

 

            Означення 1. Загальним розв’язком диференціального рівняння

першого порядку називається функція

 

 

 і задовольняє таким умовам:

 

 

 задовольняє даній початковій умові.

 

            Як вже відмічалося, при відшуканні загального розв’язку

диференціального рівняння ми часто приходимо до співвідношення вигляду

 

 

, що задає неявно загальний розв’язок, називається загальним

інтегралом.

 

називається в цьому випадку частинним інтегралом.

 

Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального

рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що

проходить через деяку точку площини.

 

            Розв’язати (про інтегрувати) диференціальне рівняння – це

значить:

 

            а) знайти його загальний розв’язок або загальний інтеграл

(якщо не задані початкові умови);

 

            б)  знайти той частинний розв’язок рівняння або частинний

інтеграл, який задовольняє початковим умовам (якщо такі є).

 

12.2. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого

порядку

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ