UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДиференціальні рівняння І порядку (реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1163
Скачало247
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

ПЛАН

 

Основи означення.

 

Диференціальні рівняння І порядку.

 

Задача Коші.

 

Теорема існування та єдності розв'язку.

 

Економічні задачі, що потребують використання диференціального рівняння.

 

І. Означення. Диференціальним рівнянням називають рівняння, яке містить

незалежну змінну х, шукану функцію у і її похідні у, у,..., у(N).

 

Символічно диференціальне рівняння записується так:

 

 

Приклад: 2х+у-3у'-0; у'-4-0;

 

Sin у'-cosх у; у'-2х – диференціальне рівняння.

 

Означення. Порядком диференціального рівняння називається найбільший

порядок похідних, що входять в дане рівняння.

 

Приклад: ху'+у-2-0 диференціальне рівняння І порядку.

 

у'''+7у'-3у-0 диференціальне рівняння ІІІ порядку.

 

Отже розв'язком диференціального рівняння (1) називається інтегральною

кривою цього рівняння. Виявляється, що рівняння (1) має безліч

розв'язків. Сім'я розв'язків яка залежить від n довільних параметрів

називається загальний розв'язком рівняння 1. Процес знаходження

розв'язків рівняння (1) називається інтегруванням цього рівняння.

Розв'язок рівняння (1) може бути у явному у=у(х) або в неявному – G

(х1у(х)), яка визначає розв'язок у (х) рівняння (1) називається

інтегралом цього рівняння.

 

(2)

 

де у-у(х) – шукана невідома функція, у'у'(х) – її похідна по х,

 

(3)

 

Означення. Рівняння у'-f(х; у) називається рівнянням першого порядку що

розв'язується відносно похідної.

 

Означення. Функція ? (х) є (а; и) називається розв'язком

диференціального рівняння (3), якщо вона має похідну ?' (х) на (а; в) і

якщо для будь-якого х є )а; в) правильна рівність: ?' (х) = f (х; ? (х)

) (тобто функція ? (х) , х є (а; в) називається розв'язком

диференціального рівняння (3), якщо рівняння (3) при підстановці її

замість у перетвориться в тотожність по х на інтервалі (а; в)).

 

Аналогічно визначається розв'язок диференціального рівняння (2) функція

? (х) розв'язок рівняння, а крива, що задана рівнянням у - ? (х) ,

називається інтегральною кривою.

 

де х0, у0 – задані числа, називається задачею Коші. Умова (4)

називаються початковою умовою.

 

Геометрично задача Коші полягає в тому щоб знайти інтегральну криву

рівняння (3), яка проходить через задану точку М0 (х0; у0).

 

У теоріях і застосуваннях важливе значення має така проблема: скільки

інтегральних кривих рівняння (3) проходить через задачу точку А0 (х0;

у0) області D.

 

визначені і неперервні. Нехай А0 (х0; у0) – довільна точка з області

D1. Тоді існує єдиний розв'язок.

 

у = ? (х)

 

рівняння (3), який визначений в деякому околі точки х0 і задовольняє

початкову умову ? (х0) = у0.

 

Приклад 2. Розглянемо рівняння

 

(5)

 

неперервна при у>0, тобто у верхній півплощині, виключаючи вісь Ох

(область D1). Рівняння (5) має сім'ю розв'язків:

 

, (6)

 

де С – довільна стала. Формула (6) називається загальним розв'язком

рівняння (5). Тоді у = (х+с)2, при чому х+с>Q. В півплощині у>0 функція

у = (х+с)2 є розв'язком початкового рівняння, тут х+с>0, тому ч>-с.

 

Припустимо, що через кожну точку області D1 проходить єдина інтегральна

крива рівняння (2). Загальним розв'язком рівняння (2) в області D1

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ