UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваІнтегрування раціональних функцій(пошукова робота)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2283
Скачало252
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Пошукова робота на тему:

 

Інтегрування раціональних функцій.

 

План

 

Інтегрування раціональних функцій

 

Прості раціональні дроби

 

Неправильні раціональні дроби

 

Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського

 

1. Інтегрування раціональних дробів

 

 Прості раціональні дроби

 

Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів :

 

 ,

 

 не розкладається на лінійні множники в множині дійсних чисел .

 

Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів :

 

 

;

 

 

Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у знаменнику

повного квадрата, а в чисельнику похідної від знаменника, помноженої на

деяку константу .

 

 

.

 

 Отже,

 

 

Якщо позначити

 

, то одержимо

 

 

 

 

 їх значеннями.

 

г) Четвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й

третій, зведеться до вигляду

 

 Тому

 

 

 

Останній же інтеграл може бути про інтегрований за рекурентною формулою

(9.3).

 

Неправильні раціональні дроби

 

 і правильного дробу. Цілу частину неправильного дробу можна виділити

прямим діленням чисельника на знаменник. Ділення це продовжується доти,

поки остача від ділення (це буде деякий поліном або просто  число)

матиме менший степінь, ніж степінь полінома, що  є дільником.

 

Приклад 1.    Виділити цілу частину дробу

 

 

 , то дріб неправильний. Ми можемо безпосередньо виділити цілу частину,

додавши і віднявши в чисельнику 8:

 

 

 

            Приклад 2.  Виділити цілу частину дробу

 

 

 

Отже,

 

.

 

 Інтегрування правильного раціонального дробу

 

 ) не представляє ніяких труднощів. Тому розглянемо саме інтегрування

правильних раціональних дробів.

 

 

Нехай знаменник правильного дробу має вигляд

 

,

 

 коренів на множині комплексних чисел.

 

, тобто комплексні корені входять у поліном комплексно спряженими

парами.

 

 - корені полінома, тобто

 

 

. Їх добуток

 

 

. Серед коренів полінома можуть виявитися кратні. Якщо врахувати це,

то  розклад полінома на множники запишеться так:

 

           (8.21)   

 

 - кратності пар комплексно спряжених коренів.

 

 простих дробів:

 

 

 простих дробів:

 

 

Розглянемо конкретний приклад розкладу на прості дроби  правильного

раціонального дробу

 

 

).

 

Отже , заданий дріб може бути поданий як

 

 

 - невідомі коефіцієнти , які треба обчислити, виходячи з того, що

написана рівність є тотожністю. Її можна записати , звільнившись від

знаменників:

 

 

, то одержимо систему дев’яти лінійних рівнянь із дев’ятьма невідомими

відносно невідомих коефіцієнтів, які й знайдемо із вказаної системи

рівнянь. У курсі алгебри доведено, що необхідна система рівнянь для

визначення невідомих коефіцієнтів завжди має єдиний розв’язок .

 

 підставляти довільні числа.). В результаті одержимо шість невідомих

коефіцієнтів. Отже, залишиться знайти ще три коефіцієнти .

 

.

 

            Після визначення всіх невідомих коефіцієнтів цієї системи

рівнянь вже легко буде проінтегрувати заданий дріб, користуючись

формулами простих раціональних дробів (п. 9.7.1).

 

 .

 

Приклад.  Обчислити інтеграл:

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ