18.1. МАТЕМАТИЧНІ ОСНОВИ
ОБЧИСЛЕННЯ ТАРИФНИХ СТАВОК
Поняття випадкової величини. Страхування виникає там, де існують явища і
процеси випадкової природи. Тому більшість величин, що розглядаються у
страхуванні, є випадковими величинами. З математичного погляду випадкова
величина — це змінна, яка може набувати певних значень з певною
ймовірністю.
Випадкова величина повністю описується своєю функцією розподілу.
Функцією розподілу випадкової величини ?, (або інтегральною функцією)
називається функція, яка кожному числу х ставить у відповідність
імовірність того, що ?, набуде значення, меншого за х:
.
Функція F?(x) визначена при всіх значеннях аргументу x і має такі
властивості:
;
F?(y);
F?(+?) = l;
F?(+?) = 0;
b}=F?(b)-F?(a).
Серед випадкових величин можна виокремити два основні типи — дискретні
та абсолютно неперервні.
Дискретною називається випадкова величина, яка може набувати скінченної
або зліченної множини значень. Дискретними є, наприклад, такі величини:
кількість позовів (страхових випадків) у поточному році кількість
договорів, що їх буде укладено страховиком.
Якщо функцію розподілу F?(x) випадкової величини ? можна
подати у вигляді
,
де р?(х) — деяка невід’ємна функція, то випадкова величина ? називається
абсолютно неперервною, а функція р?(х) — щільністю розподілу випадкової
величини ?. Абсолютно неперервними можна вважати, наприклад, розмір
майбутніх прибутків страховика, а також тривалість очікування між двома
послідовними страховими випадками.
Числові характеристики випадкових величин. У страховій практиці, як
правило, нас цікавлять не самі випадкові величини, а деякі їх числові
макрохарактеристики. Найважливішими з них є математичне сподівання та
дисперсія.
Математичне сподівання (його називають також середнім, або сподіваним,
значенням) — це середньозважене за ймовірністю значення випадкової
величини. Для дискретних випадкових величин математичне сподівання
обчислюється з формулою:
,
де хі — значення, яких набуває випадкова величина; рі — ймовірності їх
реалізації. Для абсолютно неперервних випадкових величин математичне
сподівання подається так:
,
?), математичне сподівання можна обчислити за формулою:
.
Для будь-яких сталих a, b та випадкових величин ?, ? виконуються такі
властивості математичного сподівання:
М[а] = а;
М[b?] = b?[?];
M[? + ?]=?[?]+?[?].
Дисперсія характеризує відхилення випадкової величини ? від її
середнього значення й обчислюється як математичне сподівання квадрата
відхилення цієї величини від й математичного сподівання:
.
Дисперсія задовольняє такі співвідношення:
;
;
;
,
де а, b — довільні сталі; ?, — випадкова величина. Якщо випадкова
величина невід’ємна, дисперсію можна обчислити за формулою.
Поряд з дисперсією часто використовують похідні поняття — стандартне
відхилення та коефіцієнт варіації. Стандартним, або
середньоквадратичним, відхиленням називають корінь квадратний із
дисперсії:
Відношення стандартного відхилення випадкової величини ?, до модуля
математичного сподівання називається коефіцієнтом варіації.
.
Для випадкової величини ?, квантилем рівня а (або ?-квантилем)
називається величина ta, яка при заданому значенні довірчої ймовірності
? є коренем рівняння
.
Незалежність випадкових величин. Випадкові величини ? та ? називаються
незалежними, якщо за відомим значенням величини ?, не можна зробити
жодних висновків стосовно значення ?, і навпаки, значення ? ніяк не
впливає на обізнаність із величиною ?. Формально випадкові величини ? та
? називаються незалежними, якщо при будь-яких значеннях а та b
імовірність події р{?Р{? u(у) при х > у;
функція й задовольняє нерівність Єнсена М[u(х)]
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
