Реферат
на тему:
“Гіпербола”
Визначення 1. Геометричне місце точок, різниця відстаней від кожної з
який до двох даних точок, які називаються фокусами, є постійною
величиною, називається гіперболою.
– канонічне рівняння гіперболи.
Досліджуємо форму гіперболи.
1. Знайдемо точки перетинання з осями.
, A(a;0) , B(-a;0).
.
Визначення 2. Точки A і B називаються вершинами гіперболи.
2. З виду рівняння випливає, що лінія симетрична щодо осей OX, OY і
початку координат.
.
Отже, крива розташована поза прямокутником зі сторонами 2а і 2b.
Побудуємо дану криву.
Визначення 3. Параметр a називається дійсною піввіссю гіперболи, а
параметр b називається мнимою піввіссю.
називаються асимптотами гіперболи.
При зростанні х гіпербола необмежено наближається до асимптот.
Визначення 5. Відношення фокусної відстані гіперболи до її дійсної осі
називається ексцентриситетом.
.
гіпербола вироджується в дві рівнобіжні прямі.
Задачі з гіперболою
Задача 1. Знайти канонічне рівняння гіперболи.
проведемо перпендикуляр. Це буде вісь OY. У такий спосіб ми ввели
систему координат і тепер кожна точка на площині має координати.
, тобто лежачу на гіперболі.
3 крок. Робимо необхідні геометричні побудови: з’єднуємо відрізками
прямих точку М с фокусами.
(фокусна відстань) через 2с. По визначенню гіперболи різниця відстаней
від точки М до фокусів є величина постійна незалежно від того, де на
гіперболі знаходиться точка М. Позначимо цю відстань через 2а:
Тоді по формулі (1) маємо:
Підставивши ці вираження в рівність (17), одержимо:
.
Цим рівнянням зв’язані координати поточної точки М(х;у) з даними
задачі. Отже, воно є рівнянням гіперболи.
5 крок. Спростимо отримане вираження, двічі звівши його в квадрат і
позначивши через
(11)
Через громіздкість викладень приводити їхній не будемо. Одержимо:
Ми одержали канонічне рівняння гіперболи. Для неї як і для еліпса існує
поняття ексцентриситету, що позначається буквою (епсилон) і характеризує
ступінь сплющеності гіперболи. Ексцентриситет обчислюється по формулі:
Побудова гіперболи.
Будуємо прямокутну систему координат. На осі ОХ від початку координат
відкладаємо вліво і вправо відрізки а (довільної довжини). А на осі OY —
відрізки b. Через точки на осях проводимо прямі, рівнобіжні осям
координат. Одержали прямокутник зі сторонами 2а і 2b. Проведемо
діагоналі прямокутника. Вони називаються асимптотами гіперболи. Галузі
гіперболи як завгодно близько наближаються до асимптотам, але не
перетинають їх. Вершини гіперболи знаходяться на відстані а від початку
координат вліво і вправо.
будуть розташовуватися усередині вісей гіперболи.
і визначити її фокуси й ексцентриситет.
Рішення: Щоб побудувати гіперболу, треба знати параметри а і b, а для
цього рівняння гіперболи треба привести до канонічного виду, тобто
.
4,2. Проведемо діагоналі цього прямокутника, це асимптоти гіперболи,
креслимо галузі гіперболи.
. Для перебування зі скористаємося співвідношенням (11).
Знайдемо ексцентриситет гіперболи:
. Ексцентриситет гіперболи завжди більше 1.
Використана література:
Математика. Підручник. – К., 2000.
Математичний словник-довідник. – К., 2001.
Y
F2(c;0)
F1(-c;0)
b
-b
-a
a
0
X
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter