UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75850
останнє поновлення: 2016-12-08
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваФормула Ньютона – Лейбніца (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1865
Скачало281
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат

 

На тему: Формула Ньютона – Лейбніца.

 

 

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най-

простіших функцій, таких, як y = k x, y = x? Для інших функцій,

наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

 

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом?

Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком

Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646

– 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі

матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули

геометрич-ним міркуванням.

 

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

 

 

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через неї пенпендикуляр

хК до осі Ох. Площа фігури а А К х змінюється зі змінною х. Позначемо цю

функцію через S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при

чому S?(x)=?(x), де y=?(x) –

підінтегральна функція, графік якої обмежує криволінійну трапецію.

Інакше кажучи, покажемо, що S (x) є первісною для ?(x).

 

Надамо змінній x приросту ?x, вважаючи ( для спрощення міркування), що

?x > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ?S (x). У курсі

математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a;

b]функція y=?(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень.

Оскільки підінтегральна функція y=?(x ) є неперервною на

відрізку[x,x+?x], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і

найбільшого значень. Отже,

 

m ?x < ? S (x) < M ?x

 

Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=?(x ). За основною

властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції

можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

 

S(x) = F(x)+ C.

(1)

 

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) =

0.

 

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0,

одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його

значення маємо

 

S(x) = F(x)-F(a).

(2)

 

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім

того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

 

S(b) = F(b)-F(a).

 

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

 

b

 

значенню ? ?(x) dx. Тому можна зробити висновок, що

 

a

 

b

 

? ?(x) dx = F(b)-F(a).

(3)

 

a

 

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на

відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції

при x=b i x=a.

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ