UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЛінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1029
Скачало205
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат з математики.

 

Лінійні, однорідні та неоднорідні різницеві рівняння

 

Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами

 

Означення. Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається

рівняння

 

(1)

 

через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в

рівнозначній формі

 

(2)

 

Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна

також записати в операторній формі

 

(3)

 

, то рівняння називається неоднорідним.

 

Нагадаємо, що оператор зсуву S

 

(4)

 

Далі, замість слів “різницеве рівняння” будемо використовувати

позначення РР. Для однозначного визначення розв’язків РР достатньо

задати початкові умови

 

(5)

 

(k=0, 1, 2,...), яка при підстановці її в РР (2) перетворює його в

тотожність.

 

 

2. Однорідні різницеві рівняння

 

Наведемо деякі властивості розв’язків однорідного РР

 

(6)

 

 

Звідси маємо, що РР має розв’язок:

 

 

.

 

(7)

 

називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2,...,

Сn можна задовольнити довільні початкові умови (6).

 

 

Завжди має розв’язок відносно сталих С1, С2, ..., Сn.

 

Означення. Визначник

 

(8)

 

називається визначником Вронського.

 

 

.

 

З рівняння при k=0, 1, 2... одержимо рівняння

 

 

Виходячи з цього, РР (6) має частинний розв’язок.

 

 

Число ? називається мультиплікатором розв’язків РР (6).

 

, то для визначення мультиплікаторів одержимо алгебраїчні рівняння

 

 

Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.

 

 

будуть лінійно незалежні, так як визначник Вронького

 

 

.

 

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок РР.

 

 

(k=0, 1, 2, ...).

 

Приклад. Знайдемо частинний розв’язок РР

 

 

з початковими умовами у0=0, у1=1.

 

 

Загальний розв’язок в комплексній формі має вигляд

 

 

(k=0, 1, 2,...).

 

Цей розв’язок у дійсній формі має вигляд

 

 

Для визначення сталих С3, С4 одержимо систему лінійних алгебраїчних

рівнянь

 

 

що задовольняє задані початкові умови.

 

має корінь ?1 кратності п1, то РР (6) має п1 лінійно незалежних

часткових розв’язків

 

 

Наведемо теорему про загальний розв’язок РР (6).

 

, то загальний розв’язок РР (6) одержимо у вигляді

 

 

Приклад. Знайдемо загальний розв’язок РР

 

 

 

 

3. Неоднорідне різницеве рівняння

 

Неоднорідне РР

 

(9)

 

завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо

використовувати метод варіації довільних сталих.

 

Загальний розв’язок неоднорідного РР (9) є сумою частинного розв’язку

неоднорідного РР та загального розв’язку однорідного РР.

 

Найбільш часто зустрічається РР

 

(10)

 

де Qq(k) – многочлен від k степеня q. Можна довести теорему.

 

, де Rq(k) деякий многочлен від k степеня q.

 

.

 

Многочлен Rq(k) можна знайти методом невизначенних коефіцієнтів.

 

 

 

Підставляючи у РР, одержимо рівняння для визначення А, В.

 

 

з якого знаходимо

 

 

.

 

Приклад. Шукаємо частинний розв’язок РР

 

 

 

 

0

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ