UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 12

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваПоняття про ряд Тейлора (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1556
Скачало203
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

“Поняття

 

про ряд Тейлора”

 

називається рядом Тейлора.

 

Для розкладу в ряд Тейлора діалоговому режимі діємо за схемою:

 

Series ? x=1 ? Power Series

 

Power Series

 

 

 

plot 2D + Rectangular

 

 

 

1

 

0 1 1,5 2

 

-2

 

-4

 

-5

 

Ряд Тейлора

 

Досі ми вивчали властивості суми заданого степеневого ряду. Вважатимемо

тепер, що функція задана, і з’ясуємо, за яких умов цю функцію можна

подати у вигляді степеневого ряду і як знайти цей ряд.

 

Нехай функція f(x) є сумою степеневого ряду

 

(1)

 

в інтервалі (х0-R;x0+R). У цьому разі кажуть, що функція f(x)

розкладена в степеневий ряд в околі точки х0 або за степенями х-х0.

Знайдемо коефіцієнт ряду (1). Для цього, згідно з властивістю 40

послідовно диференціюємо ряд (1) і підставлятимемо в знайдені похідні

значення х=х0:

 

 

 

Звідси знаходимо коефіцієнти

 

 

Підставивши значення цих коефіцієнтів у рівність (1) дістанемо

 

 

ряд

 

(2)

 

називається рядом Тейлора функції f(x). Отже, доведено таку теорему.

 

Теорема 1. Якщо функцію f(x) в інтервалі (х0-R;x0+R) можна розкласти в

степеневий ряд, то цей ряд єдиний і є рядом Тейлора даної функції.

 

Нехай тепер f(x) – довільна нескінчене число разів диференційована

функція. Складемо для неї ряд (2). Виявляється, що сума ряду (2) не

завжди збігається з функцією f(x). Інакше кажучи, ряд (2) формально

складено. Встановимо умови, за яких сума ряду (2) збігається з функцією

f(x).

 

Теорема 2. Для того щоб ряд Тейлора (2) збігався до функції f(x) в

інтервалі (х0-R;x0+R), тобто

 

 

для всіх х з цього інтервалу:

 

(3)

 

Відомо, що для функції, яка має похідні всіх порядків, справедлива

формула Тейлора

 

(4)

 

де

 

(5)

 

- залишковий член формули Тейлора у формулі Лонгранжа.

 

Якщо позначити n –у частину суму ряду (2) через Sn(x), то формула (4)

матиме вигляд

 

(6)

 

Нехай f(x) - сума ряду, тобто

 

 

.

 

(х0-R;x0+R).

 

Безпосередня перевірка цих умов нерідко виявляється непростою задачею.

Доведемо теорему, яка дає досить прості достатні умови розкладання

функції в ряд Тейлора.

 

Теорема 3. Якщо функція f(x) в інтервалі (х0-R;x0+R) має похідні всіх

порядків та існує число М>0 таке, що

 

(7)

 

, то функцію f(x) можна розкласти в ряд Тейлора.

 

Відповідно до теореми 2 досить перевірити умову (3). В силу нерівностей

(7) залишковий член формули Тейлора (3) задовольняє нерівність (7)

 

(8)

 

Побудуємо степеневий ряд

 

. (9)

 

оскільки

 

 

то за ознакою Д’Амламбера ряд (9) збіжний на всій числовій осі.

 

Для збіжного ряду

 

 

тоді з нерівностей (8) знаходимо

 

 

Вправи для самостійного розв’язання

 

Знайти суми таких рядів:

 

 

приклад (1)

 

Знайти три перших (відмінних від нуля) члени розкладу в ряд розв’язку

рівняння

 

 

Шукаємо розв’язок у(х) у вигляді ряду Тейлора:

 

... .

 

Маємо

 

 

Отже,

 

 

Приклад 2.

 

у ряд Маклорена

 

- Знаходимо функції і похіжні

 

 

у ряд

 

 

Залишковий член формули Пейнора

 

 

тому розклад буде справедливий при будь-якому значенні х.

 

Контрольні запитання

 

Що називають рядом Тейлора для функції f(x)?

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ