UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДиференціал (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1555
Скачало219
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

ДИФЕРЕНЦІАЛ

 

Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і е одним з

найважливіших в математиці. Диференціал наближено дорівнює приросту

функції і пропорційний приросту аргументу. Внаслідок цього диференціал

широко застосовується при дослідженні різноманітних процесів і явищ.

Будь-який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється

майже рівномірно, тому дійсний приріст величини, що характеризує процес,

можна замінити диференціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку

заміну називають лінеаризацією процесу.

 

Термін «диференціал» (від латинського слова differentia — різниця)

ввів у математику Лейбніц.

 

1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала

 

[а; b], тобто в цій точці має похідну

 

 

Тоді з властивості 1o (гл. 4, п. 3.6)

 

0,

 

звідки

 

(1)

 

х , тому що (гл. 4, п. 4.3):

 

 

х , тому що

 

 

х в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі

(1) є головною частиною приросту функції, лінійною відносно приросту

аргументу.

 

х, частина приросту функції f(х) в цій точці:

 

х. (2)

 

х. Тому формулу (2) можна записати так:

 

dy = f'(x)dx. (3)

 

Формула (4) дає змогу розглядати похідну як відношення диференціала

функції до диференціала незалежної змінної.

 

. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (4).

 

Геометричний зміст диференціала зрозумілий з рис. 5.18. Маємо

 

хf'(x) = f'(x)dx = dy.

 

х.

 

З'ясуємо механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка

рухається за відомим законом

 

є майже рівномірним.

 

Поняття диференціала можна проілюструвати і на інших прикладах, які

розглянуто в п. 1.1. У кожному з них поняття диференціала набуває

конкретного фізичного змісту.

 

2. Властивості диференціала. Інваріантність форми диференціала

 

Оскільки диференціал функції дoрівнює добутку її похідної на диференціал

незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із

відповідних властивостей похідної. Якщо, наприклад, и і v —

диференційовні функції від х, С — стала, то маємо такі правила

знаходження диференціалів:

 

 

 

;

 

Доведемо, наприклад, четверту формулу. За означенням диференціала маємо

 

d (uv) = (uv)'xdx = (u'v + uv') dx — = vu'dx + uv'dx = vdu + udv.

 

(t) диференційовні в точках х і t. Тоді існує похідна y't = y'xx't, а

отже, і диференціал

 

dy = y'tdt = y'xx'xdt = y'xdx. (5)

 

Порівнюючи формули (4) і (5), бачимо, що перший диференціал функції

 

у = f (х) визначається за однією і тією самою формулою незалежно від

того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функцією іншої

змінної.

 

Цю властивість диференціала називають інваріантністю (незмінністю) форми

диференціала. Проте слід зауважити, що формули (4), де х — незалежна

змінна, і (5), де х — залежна змінна, однакові лише на вигляд, а зміст

їх різний: якщо у формулі (4) ах = Ал:, то у формулі (5)

 

x.

 

3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ