Курсова робота з математики на тему:
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ
ЗМІСТ TOC \o “1-2” \h \z
HYPERLINK \l “_Toc71697433” Вступ PAGEREF _Toc71697433 \h 3
HYPERLINK \l “_Toc71697434” 1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ
PAGEREF _Toc71697434 \h 4
HYPERLINK \l “_Toc71697435” §1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ PAGEREF
_Toc71697435 \h 4
HYPERLINK \l “_Toc71697436” §2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ PAGEREF
_Toc71697436 \h 9
HYPERLINK \l “_Toc71697437” §3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ PAGEREF
_Toc71697437 \h 18
HYPERLINK \l “_Toc71697438” §4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ
ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. PAGEREF
_Toc71697438 \h 21
HYPERLINK \l “_Toc71697439” ВИСНОВОК PAGEREF _Toc71697439 \h 26
Вступ
. При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y –
залежною змінною, або функцією.
В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій
однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про
арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі
важливі границі; способи порівняння функцій та ін.
Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до
обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати
розв’язанням вправ
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ
ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ
В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться
надалі.
Лема 1.
(1.1)
Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною
трикутника АОС; тому
отже,
або, замінюючи величини їм оберними
(1.2)
слідує рівність (1.1).
Наслідок 1.
(1.3)
Дійсно,
Наслідок 2.
(1.4)
, маємо
Наслідок 3.
(1.5)
Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).
Лема 2.
(1.6)
Рівність
(1.7)
натуральних чисел, такї, що
(1.8)
маємо
(1.9)
(1.10)
тому в силу (1.10)
що і означає виконання рівності (1.9).
тобто
(1.11)
Тому маємо:
(1.12)
Наголошуючи, що в силу (1,9)
і
, отримаємо
—первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим
доведено, що
(1.13)
така, що.
тобто,
(1.14)
Тоді
,
де
і через вже доведену рівність (1.13)
була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому
(1.15)
, яка також рівна е.
Наслідок 1.
(1.16)
Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції,
неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:
Наслідок 2.
(1.17)
то
(1.І8)
еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни
змінної.
, отримаємо
ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ
.
.
тоді
не існує.
і позначається:
).
ні про яку межу тут мови немає.
Доведення. З існування скінченої границі
,
.
, це записується у вигляді :
нескінченно малими одного порядку, бо
.
.
, що
(1.20)
і
(1.21)
бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу
рівносильні умовам
тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість
симетричності.
Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом
~:
(1.22)
, отримаємо:
, то
то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню
а, отже, й умові
виконуються умови (1.20) і (1.21).
Якщо
(1.23)
то
(1.24)
і, отже
,
, тобто виконується асимптотична рівність (1.24).
справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:
З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які
сформулюємо у вигляді окремої леми.
така, що
(1.25)
,
(1.26)
Доведення. Покажемо, наприклад, що
(1.27)
що належить цоьму околі)
(1.28)
Покажемо, що
(1.29)
Оскільки
виконується нерівність
, то
, то
(1.30)
і, отже, нерівність (1.30) очевидно також виконується.
, то доведена справедливість асимптотичної рівності (1.27). Аналогічно
доводиться і решта асимптотичні формули (1.26).
).
,
, та умову
можна переписати у вигляді
розуміється будь-яка функція така, що
, або
.
тоді
‘
При використовуванні рівності з символами О і о слідує мати на увазі, що
вони не є рівністю в звичайному значенні цього слова. Так, якщо
. Аналогічно, якщо
.
Як приклад на поводження з цими символами доведемо рівність
(1.31)
де с – стала.
.
вірна і при читанні справа наліво.
Приклади.
, бо
4.Так як |1/x2| ? |1/x| при |x| ? 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ???;
5.1/x = O(1/x2) при x? 0 так как |1/x|? 1/x2 при |x|? 1.
6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ? 0 являються
нескінчено малими одного порядку при x? a , так як
f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| ? 3 ? f=O(g), g/f =
1/|2+sin 1/x| ? 1 ? g=O(f).
7. x2 = o(x) при x ? 0, так як limx ? 0x2/x = limx ? 0x = 0;
8.1/x2 = o(1/x) при x ????? так як limx ???x/x2 = limx
???1/x = 0
9.Знайти границю
Розв’язування. Використовуючи HYPERLINK
“http://www.de.isu.ru/uchebnew/” \l “e3” асимптотическое равенство (
HYPERLINK “http://www.de.isu.ru/uchebnew/” \l “e3” 3 ) и HYPERLINK
“http://www.de.isu.ru/uchebnew/” \l “e1” асимптотическое равенство (
HYPERLINK “http://www.de.isu.ru/uchebnew/” \l “e1” 1 ), а также
учитывая, что x2 = o(x) при x? 0 (см. HYPERLINK
“http://www.de.isu.ru/uchebnew/” \l “ex1” пример HYPERLINK
“http://www.de.isu.ru/uchebnew/” \l “ex1” 15 ) и f=o(x2) является
функцией o(x) при x? 0, найдем
ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ
функції f і g. Нижче показано, що серед них лише ті, які еквівалентні
між собою:
можна записати, використовуючи символ “o мале»:
Сформулюємо сказану характеристичну властивість еквівалентних функцій у
вигляді теореми.
виконувалася умова
(1.32)
тобто
. Тоді
, тобто маємо (1.32).
Доведення достатності. Нехай виконується умова (1.32), тобто
. Тоді
)
.
Тоді якщо існує
(1.33)
, причому
(1.34)
означає, що
.
Тепер маємо:
Оскільки обидві частини рівності (1.34) рівноправні, то з доведеної
теореми виходить, що границя, що стоїть в лівій частині, існує тоді і
тільки тоді, коли існує границя в правій частині, причому у разі їх
існування вони співпадають. Це робить дуже зручним застосування теореми
2 на практиці: її можна використовувати для обчислення меж, не знаючи
наперед, існує чи ні дана межа.
МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО
ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ.
, бо
. Проте, якщо задається певним чином головної частини, то при його
вигідному виборі можна добитися того, що головна частина вказаного
вигляду буде визначена однозначно.
Зокрема, справедлива наступна лема.
, де А і k – сталі, то серед всіх головних частин такого вигляду вона
визначається єдиним чином.
,
і
, тобто
.
.
Покажемо на прикладах, як метод виділення головної частини нескінченно
малих застосовується до обчислення границь функцій. При цьому широко
використовуватимемо отримані нами співвідношення еквівалентності (1.26).
Нехай вимагається знайти межу (а значить, і довести, що він існує))
, а отже
, унаслідок чого
Очевидно також, що
, отримаємо
. Тепер маємо
тому
, і, значить, по теоремі 2,
Таким чином, шукана границя існує і рівний 2.
При обчисленні границя функцій за допомогою методу виділення головної
частини слід мати на увазі, що у випадках, не розглянутих в п. 1.3,
взагалі кажучи, не можна нескінченно малі замінювати еквівалентними їм.
Так, наприклад, при відшуканні границь вираження
.
. Зауважуючи, що
(1.35)
бачимо, що слід обчислити границю
, то звідси, згідно теоремі 2 цього параграфа, маємо
, а тому
таким чином,
Через неперервність показникової функції з (1.35) маємо
Спосіб обчислення границь за допомогою виділення головної частини
функції є дуже зручним, простим і разом з тим вельми загальним методом.
Деяке утруднення в його застосуванні зв’язано поки з тим, що ще немає
достатньо загального способу виділення головної частини функції.
Приклади:
PAGE
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter