UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваПравило Лопіталя. Теореми Коші і Лагранжа (Реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2532
Скачало518
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат з вищої математики

 

на тему:

 

Правило Лопіталя.

 

Теореми Коші і Лагранжа

 

1. Правило Лопіталя

 

У попередній главі ми ознайомилися з деякими способами розкриття

невизначеностей. Розглянемо ще один спосіб, який ґрунтується на

застосуванні похідних.

 

визначені і диференційовні в околі точки х0, за винятком, можливо,

самої точки х0, причому

 

 

.

 

, для якої

 

 

, то з рівності маємо:

 

 

, маємо

 

 

то теорему і можна застосувати ще раз. При цьому дістанемо

 

 

. Цю саму границю матиме й відношення функцій:

 

 

.

 

визначені і диференційовні в околі точки х0 і в цьому околі

 

 

і

 

 

Цю теорему приймемо без доведення.

 

Виражене теоремами 1 і 2 правило обчислення границь називають правилом

Лопіталя за іменем математика, який опублікував його. Але це правило

відкрив І. Бернуллі, тому правило Лопіталя називають ще правилом

Бернуллі – Лопіталя.

 

покажемо, як ці невизначеності зводяться до основних.

 

можна звести до основних так:

 

 

або

 

 

:

 

 

, то

 

 

.

 

, їх треба спочатку звести до основних і лише після цього застосувати

правило Лапіталя.

 

Приклад.

 

Обчислити границі:

 

;

 

 

 

 

, тому за правилом Лопіталя маємо

 

 

тому

 

 

після чого застосовуємо правило Лопіталя:

 

 

після чого застосуємо правило Лопіталя:

 

 

. Маємо

 

 

, потім скористаємось правилом Лопіталя:

 

 

тому

 

, тоді

 

 

 

 

є). Тут невизначеність виду 00, тоді

 

 

 

 

ж). Для розкриття цієї невизначеності правило Лопіталя потрібно

застосувати п разів:

 

 

2. Теореми Коші і Лагранжа

 

, що

 

 

Введемо допоміжну функцію

 

 

 

, в якій F’(c)=0 або

 

 

звідки й випливає формула.

 

, в якій

 

 

дістанемо формулу.

 

Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа. Запишемо формулу у

вигляді

 

 

тоді

 

 

задовольняє умові теореми Лагранжа, та на графіку цієї функції

знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна

хорді, що сполучає кінці кривої А (a;f(a)) i B(b;f(b)). Таких точок може

бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.

 

. У теоремі Лагранжа вказується лише на існування точки с, для якої

справедлива формула, але використання цієї теореми у математичному

аналізі надзвичайно широке.

 

миттєва швидкість неодмінно збігається із середньою швидкістю:

 

.

 

неодмінно знайдеться така швидкість S’(c), що коли її підтримувати

сталою, то за той самий проміжок часу [t1;t2] точка пройде той самий

шлях S(t2)-S(t1) , що і при русі із зміною швидкістю S’(t):

 

 

. Зрозуміло, що ці інтерпретації вірні лише тоді, коли закон руху S(t)

задовольняє умови, які відповідають умовам теорем Ролля і Лагранжа.

 

Приклади.

 

має лише один дійсний корінь.

 

 

Знайдена суперечність показує, що припущення про існування ще одного

кореня було хибним.

 

на відрізку [1;5]? При якому значенні с?

 

то теорема Ролля на цьому відрізку справджується.

 

Значення с знаходимо з рівняння f’(x)=2x-6=0, звідки с=3.

 

3. Крива у=х2-4х сполучає точки А(1;-3) і В(4;0). На дузі АВ знайти

точку М0(х0; у0), в якій дотична паралельна хорді АВ.

 

для якої

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ