Реферат на тему:
Лінійна алгебра. Матриці та вектори.
Означення. Матрицею розміром n*m називається прямокутна таблиця чисел
Означення. Матриці A=(aij) та B=(bij) називаються рівними (однаковими),
якщо вони мають однакову кількість рядків та стовпців і всі їхні
елементи, розташовані на однакових місцях, є рівними (тобто aij=bij для
всіх значень i та j).
Означення. Сумою двох матриць A=(aij) та B=(bij) з однаковою кількістю
рядків та стовпців називається матриця C=A+B, де
cij=aij+bij (i=1,…,m; j=1,…,n).
(1.1)
Означення. Добутком матриці A=(aij) на число k називається матриця B=k(A
вигляду B=k(A=(k(aij).
Матриця називається квадратною, якщо кількість її рядків співпадає із
кількістю стовпців (n=m).
Означення. Квадратна матриця E=(eij) називається одиничною, якщо
,
тобто ця матриця має вигляд
.
.
, елементи якої обчислюються за формулою
(1.2)
Приклади.
.
.
2. Нехай, крім того,
.
,
D(C – не має сенсу,
Зазначимо, що в останньому прикладі А(В ( В(А .
Виконуються такі властивості додавання та множення матриць:
Е(А = А(Е = А (властивість множення на одиничну матрицю);
О(А = А(О = О (властивість множення на нульову матрицю);
k(O = O(k = O A+O = O+A =A;
(((A) = ((()A; (A()( = A((();
A+B = B+A (комутативна властивість додавання);
A+(B+C)=(A+B)+C (асоціативна властивість додавання);
((+()A = (A+(A;
((AB) =((A)B;
(A+B)C = AC+BC ; C(A+B) = CA+CB.
.
Виконуються такі властивості:
(AB)T = BTAT;
((A+(B)T = (AT+(BT;
(AT)T = A.
.
Добуток матриці на вектор обчислюється за загальним означенням множення
матриць:
,
.
Приклад. Для виготовлення виробів W1 та W2 потрібні вузли v1 та v2. Для
виготовлення цих вузлів, в свою чергу, відповідно, потрібні деталі d1,
d2 та d3 у кількостях, що наведені у таблицях:
Вироби Кількість вузлів
Вузли Кількість деталей
v1 v2
d1 d2 d3
W1 2 3
v1 2 1 0
W2 1 4
v2 1 0 3
Обчислити кількість деталей, що потрібні для виготовлення кожного із
виробів W1 та W2.
На основі аналізу цих таблиць бачимо, що шукана кількість деталей
облислюється як добуток матриць
.
Отриманий результат такий:
Вироби Кількість деталей
d1 d2 d3
W1 7 2 9
W2 6 1 12
Зокрема, для виготовлення виробу W2 потрібно 12 деталей d3.
Приклад. Нарахувати заробітну плату, яку потрібно виплатити на кожне
замовлення, якщо вхідна інформація задана у таблицях:
Таблиця A
Виріб Затрати робочого часу на робочих місцях, год.
1 2 3 4
W1 0,8 2,1 1,2 3,0
W2 1,3 0,5 2,8 0,2
W3 1,1 1,0 2,5 1,8
Таблиця B
Замовлення Кількість виробів
W1 W2 W3
Z1 5 7 3
Z2 4 0 2
Z3 6 2 1
Таблиця C
Робоче місце Погодинна заробітна плата, грн.
1 1,30
2 1,25
3 1,40
4 1.45
Помноживши матрицю B на матрицю A, отримуємо затрати часу на робочих
місцях щодо кожного замовлення:
Замовлення Затрати робочого часу на робочих місцях, год.
1 2 3 4
Z1 16,4 17 33,1 21,8
Z2 5,4 10,4 9,8 15,6
Z3 8,5 14,6 15,3 20,2
.
Перемноживши отриману матрицю на вектор (матрицю-стовпець) C, обчислимо
витрати на зарплату щодо кожного із замовлень:
Замовлення Витрати на зарплату
Z1 120,52
Z2 56,36
Z3 80,01
Отже, витрати на зарплату обчислюються як добуток матриць:
.
Приклад. Входження деталей та комплектуючих у деякий виріб показане на
рисунку 1.1 :
Виріб
4 3 10 15
Комплектуюча Комплектуюча Деталь
Деталь
K1 K2 D1
D2
2 3 4 5
D1 D2 D1 D2
Рис. 1.1.
Визначити загальне входження кожної з деталей D1 та D2 у виробі.
Побудуємо відповідні матриці.
. Тут рядки відповідають деталям, а стовпці комплектуючим.
.
Тоді загальну кількість деталей D1 та D2 у виробі обчислюють за формулою
.
Отже, для виготовлення одного виробу потрібно 30 деталей D1 та 42 деталі
D2 .
Означення. Нехай A=(aij)i=1,…,n;j=1,…,n – квадратна матриця. Оберненою
до неї матрицею A-1 називається матриця, для якої має місце
A(A-1=A-1(A=E .
Якщо обернена до A матриця існує, то (A-1)-1=A.
Приклад.
.
Справді,
,
.
За допомогою оберненої матриці можна розв’язувати системи лінійних
рівнянь, оскільки запис
є рівнозначний до запису
знаходиться при допомозі множення зліва обидвох частин на обернену
матрицю A-1 :
,
,
(1.3)
.
Відшукання оберненої матриці досить складна математична задача. Проте
дії над матрицями реалізовані у багатьох комп’ютерних системах. Зокрема,
в системі EXCEL обчислення оберненої матриці реалізується за допомогою
так званої функції масиву MINVERSE, а множення матриць –за допомогою
функції масиву MMULT (зазначимо, що функція масиву, на відміну від
звичайної функції, вводиться одночасним натисканням трьох клавіш –
Shift, Ctrl та Enter).
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Барковський В., Барковська Н. Математика для економіста. – К., 1997.-
Т.1-3.
Бугір М. Математика для економістів. – Тернопіль, 1998.
Михайленко В., Федоренко Н. Математичний аналіз для економістів. – К.,
1999.
Нікбахт Е., Гроппелі А. Фінанси. – К., 1993.
Nicholson R.N. Mathematics for Business and Economics. – 1986.
Завада О. Методичні вказівки до виконання контрольних робіт
з курсу “Математика для економіста”. – Львів, 2000.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
