UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЧислові та степеневі ряди (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2785
Скачало574
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Числові та степеневі ряди

 

ПЛАН

 

1. Числові ряди.

 

2. Степеневі ряди.

 

1. Числові ряди

 

У деяких задачах розглядають суми, що складаються із нескінченної

кількості доданків. Властивості таких нескінченних сум часто суттєво

відрізняються від властивостей сум скінченної кількості доданків.

 

Наприклад, для суми S=1-1+1-1+1-1+… згідно з асоціативним законом маємо

S=(1-1)+(1-1)+… та S=1-(1-1)-(1-1)-… . Отже, для нескінченних сум

асоціативний (сполучний) закон додавання не виконується.

 

Означення. Нехай задано нескінчену послідовність {an}=a1,a2,…,an,…    .

 

 

називають числовим рядом, а доданок an - загальним членом цього ряду.

 

Розглянемо часткові суми числового ряду:

 

S1=a1 ;

 

S2=a1+a2 ;

 

…………..

 

Sn=a1+a2+…+an ;

 

…………….

 

Означення. Ряд називається збіжним, якщо послідовність його часткових

(частинних) сум має скінченну границю. Ця границя називається сумою ряду

 

(9.1)

 

Приклади.

 

.

 

.

 

називають мультиплікатором.

 

Властивості збіжних рядів

 

).

 

і навпаки.

 

Крім того, збіжні ряди можна почленно додавати та множити на число.

 

Достатні ознаки збіжності рядів

 

.

 

.Тоді при l<1 ряд збігається, а при l>1 розбігається.

 

 

 

. Ряд збігається.

 

, то ряд є збіжним.

 

.

 

. Отже, потрібно взяти 100 членів ряду.

 

Абсолютна збіжність рядів

 

розбігається.

 

Приклади.

 

розбігається.

 

є абсолютно збіжним.

 

2. Степеневі ряди

 

Означення. Степеневим рядом називається ряд вигляду

 

c0+c1x+c2x2+…+cnxn+…

 

Приклади.

 

1. Степеневий ряд 1+x+x2+…+xn+… Тут усі cn=1.

 

2. Степеневий ряд 1-2x+3x2-4x3+5x4-… Тут cn = (-1)n((n+1).

 

Очевидно, що за одних значень змінної x ряд може збігатися, а за інших –

розбігатися. Тому ставлять задачу звідшукання радіуса збіжності

степеневого ряду (тобто такого додатного числа R, що для всіх значень

|x|

 

Приклад.

 

Знайти область збіжності степеневого ряду

 

 

.

 

. Отже, радіус збіжності нашого степеневого ряду R=2. При –2

степеневий ряд збігається. При x>2 та x<-2 цей ряд розбігається. Випадки

x=2 та x=-2 потрібно досліджувати окремо.

 

Теорема (без доведення). Степеневий ряд в області його збіжності можна

почленно диференціювати та інтегрувати.

 

Одним із найважливіших результатів математичного аналізу є розклад

функцій у ряди.

 

Теорема. Нехай у деякому околі точки x0 функція f(x) є (n+1) разів

диференційовною. Тоді в цьому околі функція f(x) розкладається в такий

ряд

 

 

, (9.2)

 

де точка ( належить околу точки x0 .

 

Цю формулу називають формулою Тейлора. Очевидно, що коли (n+1)–а похідна

f(n+1)(x) обмежена, то залишковий член ряду прямує до нуля при x(x0.

Отже,

 

.

 

При x0=0 формула Тейлора перетворюється у формулу Маклорена

 

(9.3)

 

Легко бачити, що формула Маклорена є степеневим рядом. Таким чином

елементарні (шкільні) функції, всі які є багато разів диференційовними,

можна розкладасти в степеневі ряди.

 

Приклади.

 

Розкласти в степеневий ряд функцію f(x)=ex.

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ