UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДиференціальні рівняння. Задача Коші (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4252
Скачало585
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Диференціальні рівняння.

 

Задача Коші

 

ПЛАН

 

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними

 

змінними.

 

2. Лінійні диференціальні рівняння.

 

3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.

 

1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з

розділеними

 

змінними

 

Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються

диференціальними рівняннями.

 

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у

яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних

порядків:

 

F(x,y,y(,y(,…)=0

 

Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.

 

Приклади.

 

1. Диференціальне рівняння другого порядку y(+2y(-3y=x2+1 .

 

2. Диференціальне рівняння третього порядку y((=cos(x).

 

Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в

разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.

 

Приклади.

 

1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y(=3x2 є

функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…

 

Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C -

довільна стала.

 

2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y(=sin(x) є сім’я

функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 - довільні сталі.

Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10,

y= - sin(x)+2x+1 тощо.

 

Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з

частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних),

наприклад:

 

u(x(x,y)+u(y(x,y)=2u(x,y)+x+y

 

Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку

називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна

y((x):

 

F(x,y,y()=0

(8.1)

 

Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.

 

Означення. Диференціальне рівняння вигляду

 

f1(x)((2(y)dx+f2(x)((1(y)dy=0

(8.2)

 

називається рівнянням з розділеними змінними.

 

Приклади.

 

.

 

, розділивши тим самим змінні:

 

 

Почленно інтегруємо:

 

,

 

застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2)

та

 

1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):

 

;

 

;

 

;

 

;

 

.

 

Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального

рівняння, який є неявною функцією.

 

2. Розв’язати диференціальне рівняння y(=7x+y .

 

Розділяємо змінні:

 

;

 

.

 

Інтегруємо праву та ліву частини:

 

.

 

Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних

значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні

значення), матимемо:

 

-7y=7x+C .

 

Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція

(що залажить від сталої C)

 

7y+7x=C .

 

Розв’язати диференціальне рівняння

 

;

 

;

 

arctgy=arctgx+C .

 

Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у

-----> Page:

0 [1] [2] [3]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ