Реферат на тему:
Диференціальні рівняння.
Задача Коші
ПЛАН
1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з розділеними
змінними.
2. Лінійні диференціальні рівняння.
3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці.
1. Поняття про диференціальні рівняння. Рівняння з
розділеними
змінними
Ряд задач економіки та упраління, що розгортаються в часі, описуються
диференціальними рівняннями.
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, у
яке входять незалежна змінна, функція від цієї змінної та похідні різних
порядків:
F(x,y,y(,y(,…)=0
Найвищий порядок похідної при цьому називається порядком рівняння.
Приклади.
1. Диференціальне рівняння другого порядку y(+2y(-3y=x2+1 .
2. Диференціальне рівняння третього порядку y((=cos(x).
Означення. Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, яка в
разі підстановки у рівняння перетворює його у тотожність.
Приклади.
1. Розв’язками диференціального рівняня першого порядку y(=3×2 є
функції y=x3, y=x3+10, y=x3-3.5,…
Отже, загальний розв’язок цього рівняння має вигляд y=x3+C , де C –
довільна стала.
2. Загальним розв’язком рівняння другого порядку y(=sin(x) є сім’я
функцій (кривих) y= -sin(x)+C1x+C2, де C1 та C2 – довільні сталі.
Частковими ж розв’язками є, наприклад, функції y= -sin(x)+10,
y= – sin(x)+2x+1 тощо.
Крім звичайних диференціальних рівнянь, розглядають також рівняння з
частинними похідними (шукана функція залежить від декількох змінних),
наприклад:
u(x(x,y)+u(y(x,y)=2u(x,y)+x+y
Означення. Звичайним диференціальним рівнянням першого порядку
називається рівняння, у яке входить змінна x, функція y та перша похідна
y((x):
F(x,y,y()=0
(8.1)
Розглянемо деякі способи розв’язування таких рівнянь.
Означення. Диференціальне рівняння вигляду
f1(x)((2(y)dx+f2(x)((1(y)dy=0
(8.2)
називається рівнянням з розділеними змінними.
Приклади.
.
, розділивши тим самим змінні:
Почленно інтегруємо:
,
застосовуючи послідовно заміни 1-x2=t (звідки -2xdx=dt; xdx=(-dt)/2)
та
1-y2=u (звідки –2ydy=du; ydy=(-du)/2):
;
;
;
;
.
Отримано загальний розв’язок (загальний інтеграл) диференціального
рівняння, який є неявною функцією.
2. Розв’язати диференціальне рівняння y(=7x+y .
Розділяємо змінні:
;
.
Інтегруємо праву та ліву частини:
.
Позначивши сталу lnC (тобто, сталу, яка може набувати довільних
значеннь) через C (ця нова константа також може приймати довільні
значення), матимемо:
-7y=7x+C .
Отже, загальним розв’язком диференціального рівняння є неявна функція
(що залажить від сталої C)
7y+7x=C .
Розв’язати диференціальне рівняння
;
;
arctgy=arctgx+C .
Отримано загальний розв’язок у неявому вигляді. Перейдемо до розв’язку у
вигляді явної функції. Враховуючи той факт, що як стала C, так і стала
arctgC , може набувати довільних значень, отримуємо:
arctgy=arctgx+arctgC.
Знайшовши тангенс від суми аргументів, одержуємо:
.
(загальний розв’язок, записаний у явному вигляді).
8.2. Лінійні диференціальні рівняння
Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку має
вигляд
y(=a(x)(y=0
(8.3)
Таке рівняння розв’язують як рівняння із розділеними змінними:
;
;
;
;
– загальний розв’язок.
Означення. Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд
y(+a(x)(y=b(x)
(8.4)
Одним із методів його розв’язування є шукання розв’язку у вигляді
.
Приклад. Розв’язати лінійне (неоднорідне) рівняння
.
Розв’язок однорідного рівняння y(+2xy=0 має вигляд
.
Розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді
,
де C(x) функція від x .
,
і підставимо відшукані значення y та y( в початкове рівняння:
;
С((x)=2x ;
dC(x)=2xdx ;
C(x)=x2+C .
Отримуємо загальний розв’язок
.
Приклад. Розв’язати лінійне рівняння першого порядку 2xy(-y=3×2.
є сім’я функцій (або, іншими словами, функція, яка залежить від
сталої C)
.
.
Підставляючи y та y( в рівняння, маємо
.
Означення. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами – це рівняння вигляду
y( + py( + qy=0 ,
(8.5)
де p та q – сталі величини.
З метою розв’язування таких рівнянь будують характеристичне рівняння
(2+p(+q=0
Доведено, що у тому випадку, коли характеристичне рівняння має два різні
дійсні корені (1 та (2 , загальний розв’язок диференціального
рівняння такий:
,
де C1 та C2 – довільні сталі.
У випадку кратних дійсних коренів (1=(2=( характеристичного рівняння
загальний розв’язок диференціального рівняння має вигляд
Приклад. Розв’язати рівняння y(+2y(-15y=0.
Будуємо характеристичне рівняння (2+2(-15=0, звідки (1=3; (2=-5.
Приклад. Розв’язати рівняння y(+2y(+y=0.
Будуємо характеристичне рівняння (2+2(+1=0, звідки (1=(2=-1.
.
8.3. Задача Коші. Застосування диференціальних рівнянь в економіці
Задачею Коші називається задача знаходження часткового розв’язку
диференціального рівняння. Для рівнянь першого порядку задача полягає у
знаходженні такої функції, яка
задовольняє рівнянню F(x,y,y()=0;
проходить через точку (x0;y0).
Приклад. Розв’язати задачу Коші
.
Знаходимо загальний розв’язок диференціального рівняння з розділеними
змінними:
;
arctgy=lnx+lnC ;
y=tg(ln(Cx)) .
На основі початкової умови y(1)=0 визначаємо конкретне значення
константи C:
0=tg(ln(C(1)) ;
C=1 .
Таким чином, розв’язком задачі Коші є функція y=tg(lnx).
Приклад. Розв’язати задачу Коші
.
Знаходимо загальний розв’язок:
(заміна y2=t ( 2ydy=dt ( ydy=dt/2);
lnx=(-1/2)ln(1+y2) + lnC;
;
;
x2((1+y2)=C.
Визначаємо сталу C, виходячи з початкових умов:
12(1+22)=C, звідки C=5.
Розв’язок задачі Коші, отже, такий: x2(1+y2)=5.
Ріст при постійному темпі приросту.
Нехай в початковий момент часу t0=0 кількість населеня деякої країни
становить P0. Нехай темп приросту кількості цього населення є сталим
(зазначимо, що приріст може бути як додатнім, так і від’ємним) і
дорівнює величині T.
, приходимо до такої задачі Коші:
Розділяємо змінні і знаходимо загальний розв’язок:
;
lny=T(t+lnC ;
y=C(eT(t .
Оскільки при t=0 величина y(0)=P0 , то P0=CeT(0 =C і далі
y(t)=P0 eT(t (розв’язок задачі Коші).
Знайдена функція y(t)=P0(eT(t дозволяє прогнозувати кількість
населення в довільний момент часу. Наприклад, при річному темпі приросту
T = -2% (темпі спаду в розмірі 2%) через t=25 (років) кількість
населення становитиме P0( e-0,02(25 = P0( e-0,5 (0,607P0.
Зазначимо, що ця ж функція y(t)=P0(eT(t описує динаміку росту цін при
постійному темпі інфляції.
Ріст при спадному темпі приросту.
Нехай деяка фірма починає випускати на продаж новий товар. Нехай на
момент часу t0=0 на ринку вдалося продати y(t0)=y(0)=y0 одиниць товару.
Позначимо через y(t) кількість проданого товару в довільний момент часу
t і поставимо задачу визначення (прогнозування) цієї величини y(t).
В теорії маркетингу досліджено, що темп приросту Ty кількості проданого
товару лінійно спадає в залежності від обсягу y продажу цього товару.
Нехай темп приросту (спаду) Ty залежно від величини y є такою лінійною
функцією: Ty = b-ay.
Отже, для для знаходження функції y=y(t) потрібно розв’язати задачу
Коші:
.
Розв’язуємо дифренціальне рівняння
;
розкладено на суму
) ;
;
;
;
(отримано загальний розв’язок) .
. Цю функцію (логістичну функцію, рис. 8.1) було розглянуто в темі 4.
Вона описує динаміку кількості y проданого товару залежно від часу t.
Відщукання конкретних параметрів (, ( та ( – завдання дисципліни
“Економетрія”.
y
b/a
y0=Cb/(1+Ca)
x
Рис. 8.1.
Попит при постійній еластичності.
Нехай Q – розмір попиту на деякий товар залежно від його ціни p. Нехай
Q(p0)=Q0 . Нехай еластичність попиту за ціною EQp=E є сталою на деякому
інтервалі. Для побудови функції попиту Q=Q(p) зі сталою еластичністю
розв’язуємо задачу Коші (оскільки еластичність EQp обчислюються за
допомогою похідної: EQp=Q(((p/Q) ):
;
;
;
Q=C(pE .
З урахуванням початкових умов отримуємо явний вигляд функції попиту
.
Зокрема, при еластичності E = -1 (збільшення ціни на 1% приводить до
зменшення попиту на 1%) попит залежно від ціни описує функція
, тобто обернена функція.
Корисність при постійній схильності до ризику.
, де U(x) – функція корисності цієї особи. Побудуємо функцію
корисності для особи зі сталою (незалежною від x ) схильністю до ризику
r(x)=r (як звичайно, r
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
