UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75834
останнє поновлення: 2016-11-29
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЗнаходження екстремуму функції від багатьох змінних (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось3817
Скачало617
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Знаходження екстремуму функції

 

від багатьох змінних

 

).

 

маємо такі необхідні умови екстремуму:

 

(6.3)

 

Як і раніше, ці умови не обов’язково є достатніми.

 

полягає в тому, що потрібно побудувати систему рівнянь

 

,

 

, які надалі треба перевірити на наявність максимуму чи мінімуму.

 

Означення.

 

(6.4)

 

.

 

.

 

.

 

Розглянемо достатні умови екстремуму для випадку функції від багатьох

змінних.

 

Теорема (без доведення).

 

і f(x(x0,y0)= f(y(x0,y0)=0. Нехай A= f((xx(x0,y0), B = f((xy(x0,y0)

та C = f((yy(x0,y0) неперервні. Тоді при ( = AC-B2 > 0 у точці

(x0,y0) функція має екстремум (при A<0 – максимум, при A>0 – мінімум ).

 

При ( = AC-B2<0 екстремуму немає (перегин, сідлова точка, тощо).

 

Зазначимо, що невиконання достатніх умов не означає того, що екстремуму

немає.

 

Приклад. Знайти екстремум функції z = x3+y3-3xy.

 

 

,

 

звідки знаходимо дві критичні (стаціонарні) точки: M0=(0,0) та M1(1,1).

 

Обчислюємо другі частинні похідні:

 

.

 

У точці M0=(0,0) маємо: A=0, B= -3, C=0, отже, AC-B2 = -9<0, тобто

екстремуму немає.

 

У точці M1(1,1) маємо: A=6, B= -3, C=6, отже, AC-B2=27>0,

 

A=6>0.

 

Функція z = z(x,y) має мінімум у точці (1,1) .

 

Розглянемо, накінець, достатні умови існування екстремуму функції від n

(n>2) змінних y=f(x1…xn).

 

Знаходимо всі можливі другі частинні похідні і будуємо матрицю (матрицю

Гессе).

 

.

 

) , якщо визначники M1>0, M2>0,…, Mn>0, де

 

;

 

;

 

………………………….

(6.5)

 

.

 

Означення. Матриця H=H(x1…xn) називається від’ємно визначеною, якщо

M1>0, M2<0, M3>0,…,(-1)nMn>0.

 

У темі 1 сформульовано теорему про те, що матриця є додатно визначеною

тоді і тільки тоді, коли всі її власні числа є додатними.

 

Правильно й таке: матриця є від’ємно визначеною тоді і тільки тоді, коли

всі її власні числа є від’ємними.

 

Теорема .

 

.

 

) функція z = f(x1…xn) має мінімум, а в разі від’ємної (A<0, AC-B2>0,

…) – максимум.

 

Зазначимо, що задача відшукання найбільшого і найменшого значення

функції від багатьох змінних у деякій замкнутій області відрізняється

від задачі знаходження екстремумів. Спеціальні методи вивчають в курсі

“Математичне програмування”.

 

0

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ