UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЧастинні похідні. Повний диференціал (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4994
Скачало632
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Частинні похідні. Повний диференціал

 

Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області

визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а

аргумент y – приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають

повним приростом функції f(x,y) .

 

Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо

 

.

 

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на

випадок функції від n (n>2) змінних.

 

Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y)

називаються частинними приростами функції f(x,y) .

 

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за

аргументом x називається границя

 

(6.1)

 

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y

визначаєють аналогічно.

 

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення

:

 

;

 

.

 

задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

 

Приклади

 

 

 

2. Нехай Q=K0.6(L0.4. Знайдемо відповідні частинні похідні

 

 

 

(Випуск продукції зростає зі збільшенням затрат як капіталу, так і

праці).

 

3. Побудуємо другі частинні похідні від функції Q=K0.6(L0.4 .

 

 

 

(Граничний випуск продукції спадає зі збільшенням як затрат капіталу,

так і затрат праці).

 

4. Знайдемо змішані частинні похідні другого порядку :

 

 

Теорема: Якщо функція z = f(x,y) та її похідні z(x , z(y , z((xy і z((yx

неперервні в точці (x,y) та деякому околі цієї точки, то z((xy = z((yx .

 

Означення. Повним диференціалом dz від функції z =f(x,y) називають суму

її частинних диференціалів :

 

(6.2)

 

 

 

Поняття повного диференціала має ряд застосувань. По-перше, величина dz

є приростом (по z) дотичної площини до поверхні z =f(x,y), аналогічно до

того, як диференціал dy від функції f(x) є приростом ординати дотичної

до кривої y = f(x) (рис. 6.9,а - б).

 

z y

y=f(x)

 

z=z(x,y)

dy

 

dz

 

dy

(x=dx

 

dx y

x

 

x

 

a

б

 

Рис. 6.9.

 

По-друге, за допомогою диференціала можна оцінити похибку функції від

багатьох змінних, якщо відомі похибки аргументів:

 

,

 

- похибки аргументів.

 

По-третє, з використанням диференціала можна знаходити похідні від

функцій, заданих неявно.

 

Приклад.

 

.

 

Маємо

 

 

Отже,

 

 

. Узявши від функції F(x,y) повний диференціал, отримуємо

 

 

.

 

Приклад.

 

 

Маємо

 

 

.

 

За допомогою неявних похідних в економіці визначають граничні норми

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ