UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваДослідження функцій за допомогою похідних (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось3915
Скачало580
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Дослідження функцій

 

за допомогою похідних

 

Означення. Функція y=f(x) має мінімум (максимум) у точці x0 , якщо

існує такий окіл точки x0 , що для всіх точок x(x0 цього околу

виконується нерівність f(x0)

 

y

 

x0

x

 

Рис. 5.1.

 

Функція, показана на рис. 5.1, має два мінімуми та три максимуми.

Нагадаємо, що поняття мінімуму та максимуму об’єднані в термін

“екстремум”.

 

Теорема (необхідна умова існування екстремуму). Якщо диференційовна

функція f(x) в точці x0 має екстремум, то в цій точці похідна f((x0) =0.

 

Теорема. Якщо на деякому відрізку [a;b] похідна f((x) від деякої функції

є додатною (від’ємною), то на цьому відрізку функція f(x) зростає

(спадає)

 

Теорема (перша достатня умова існування екстремуму). Якщо похідна f((x)

від деякої диференційоної функції f(x) в точці x=x0 дорівнює нулю і при

x0, а при x>x0 похідна f((x)<0, то точка x0 є точкою

максимуму. Якщо ж похідна f((x) в деякому околі точки x0 змінює знак з

від’ємного на додатний, то точка x0 є точкою мінімуму.

 

Теорема (друга достатня умова існування екстремуму). Якщо в точці x0

диференційовної функції y = f(x) перша похідна f((x)=0 , а друга

f(((x)<0 , то в цій точці є максимум (мінімум, якщо f(((x)>0) .

 

Поняття мінімуму та максимуму не треба плутати з поняттями найбільшого

та найменшого значень функції на деякому інтервалі.

 

Зазначимо, що умова f((x)=0 не є достатньою для існування екстремуму

функції y=f(x).

 

Нехай y = f(x) - деяка функція та (x0;y0) - точка з області визначення

цієї функції. Проведемо через точку (x0;y0) дотичну до кривої (рис.

5.2).

 

y y=f(x)

 

 

(y

 

dy

 

dx=(x

 

(

 

x0

x

 

Рис. 5.2.

 

Рівняння цієї дотичної – це пряма

 

y = f(x0) +f((x0)(x-x0)

(5.2)

 

Величина f((x0) = k = tg( є нахилом кривої y=f(x) в точці x0 .

 

Означення. Диференціалом від функції y=f(x) називається вираз

dy=f((x)dx, де dx = (x - приріст аргументу (рис. 5.2).

 

Приклад. Нехай y = ln(x2+1) .

 

.

 

Приклад. Знайти екстремуми та інтервали зростання і спадання функції

y = x3 – 6x2 +9x.

 

Знаходимо похідну y( =3x2 – 12x +9.

 

Розв’язуємо рівняння 3x2 – 12x +9=0 , звідки x1=1; x2=3.

 

Досліджуємо знаки першої похідної

 

Інтервал (-?; 1) 1 (1; 3) 3 (3; +?)

 

Знак f((x) + 0 - 0 +

 

Поведінка y=f(x) Зростає Максимум Спадає Мінімум Зростає

 

 

 

Точки x1=1 та x2=3 можна також дослідити згідно з другою достатньою

умовою екстремуму:

 

y((x) = 6x – 12;

 

y((1) = - 6 < 0, отже, в точці x=1 функція y = x3 – 6x2 +9x досягає

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ