Реферат на тему:
Дослідження функцій
за допомогою похідних
Означення. Функція y=f(x) має мінімум (максимум) у точці x0 , якщо
існує такий окіл точки x0 , що для всіх точок x(x0 цього околу
виконується нерівність f(x0)
Поняття мінімуму та максимуму не треба плутати з поняттями найбільшого
та найменшого значень функції на деякому інтервалі.
Зазначимо, що умова f((x)=0 не є достатньою для існування екстремуму
функції y=f(x).
Нехай y = f(x) – деяка функція та (x0;y0) – точка з області визначення
цієї функції. Проведемо через точку (x0;y0) дотичну до кривої (рис.
5.2).
y y=f(x)
(y
dy
dx=(x
(
x0
x
Рис. 5.2.
Рівняння цієї дотичної – це пряма
y = f(x0) +f((x0)(x-x0)
(5.2)
Величина f((x0) = k = tg( є нахилом кривої y=f(x) в точці x0 .
Означення. Диференціалом від функції y=f(x) називається вираз
dy=f((x)dx, де dx = (x – приріст аргументу (рис. 5.2).
Приклад. Нехай y = ln(x2+1) .
.
Приклад. Знайти екстремуми та інтервали зростання і спадання функції
y = x3 – 6×2 +9x.
Знаходимо похідну y( =3×2 – 12x +9.
Розв’язуємо рівняння 3×2 – 12x +9=0 , звідки x1=1; x2=3.
Досліджуємо знаки першої похідної
Інтервал (-?; 1) 1 (1; 3) 3 (3; +?)
Знак f((x) + 0 – 0 +
Поведінка y=f(x) Зростає Максимум Спадає Мінімум Зростає
Точки x1=1 та x2=3 можна також дослідити згідно з другою достатньою
умовою екстремуму:
y((x) = 6x – 12;
y((1) = – 6 0, отже, в точці x=3 ця функція має мінімум.
Означення. Функція f(x) називається випуклою (випуклою вверх) на
відрізку [a;b] , якщо на цьому інтервалі її графік розташований нижче
від її дотичної (рис. 5.3,а). Функція f(x) називається увігнутою
(випуклою вниз), якщо на [a;b] цей графік розташований нижче від
дотичної (рис. 5.3,б).
y y
a b a
b
а x
б x
Рис. 5.3.
Теорема (достатня умова випуклості). Якщо у всіх точках інтервалу [a;b]
друга похідна f((x) двічі диференційовної функції y=f(x) є додатною
f((x)>0, то функція y=f(x) є увігнутою на [a;b] . Якщо f((x)0
Функція y=f(x) Випуклість Перегин Увігнутість
Отже, функція y(x) є випуклою на інтервалі (-?;2), у точці x=2 має
перегин, а на інтервалі (2;?) увігнута.
Приклад. Дослідити властивості логістичної кривої (рис. 4.12).
.
.
:
. Оскільки для всіх t вираз 0,5t є завжди додатним, то перша похідна
y((x) ніколи не перетворюється в нуль, отже, логістична крива
екстремумів не має.
Знайдемо другу похідну від y(t), тобто обчислимо
Розв’яжемо рівняння y((t) = 0 на інтервалі t>0, тобто рівняння
0,01-0,1(0,5t = 0 ,
звідки 0,5t = 0,1;
tlg0,5 = lg0,1;
t(-lg2) = -1;
t0 = 1/lg2 ( 3,32.
.
На інтервалі 0
завжди є додатнью на інтервалі z>0.
від’ємна.
Отже, витрати на споживання y збільшуються зі зростанням доходу z, проте
швидкість цього зростання зменшується (граничні витрати зменшуються).
.
Отже, витрати на споживання цього товару не можуть перевищити a.
Приклад. На інтервалі (0,1; 0,5) залежність розміру надходжень до
бюджету y від ставки оподаткування x описує крива (функція) Лаффера
(рис. 5.5):
.
Дослідимо цю функцію, обчисливши першу та другу похідні:
;
.
y
50
0,3 x
Рис. 5.5.
Легко бачити, що при x=0,3 похідна y((x)=0, причому друга похідна
y((x)>0 . Отже, ставка оподаткування x=0,3 = 30% в нашому прикладі дає
найбільше надходження до бюджету.
Із рівняння y((x) = 0 знаходимо точки перегину кривої
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
