UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 12

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЛінійна алгебра. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось3126
Скачало935
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Лінійна алгебра.

 

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

 

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими

 

.

 

.

 

Можливі три такі випадки:

 

- ранг матриці r(A)=2. Вектори (a1;b1;c1) та (a2;b2;c2), отже, є

лінійно незалежними і система має єдиний розв’язок (x0;y0). Геометрично

маємо дві прямі на площині, які перетинаються в одній точці;

 

- ранг розширеної матриці r(B)=2, а ранг основної r(A)=1. Вектори

(a1;b1;c1) та (a2;b2;c2) є лінійно незалежними, а вектори (a1;b1) та

(a2;b2) – лінійно залежними. Рівняння системи це дві паралельні прямі.,

Отже, система не має розв’язків;

 

- ранг як основної, так і розширеної матриці дорівнює одиниці:

r(A)=r(B)=1. Вектори (a1;b1;c1) та (a2;b2;c2) є лінійно залежними.

Геометрично маємо дві прямі, які збігаються. Система має безліч

розв’язків.

 

Розглянемо тепер систему трьох рівнянь з трьома невідомими

 

.

 

Кожне рівняння цієї системи задає деяку площину в просторі.

 

Можливі такі випадки:

 

усі три площини перетинаються в одній точці (x0;y0;z0). Ранг r(A)=3.

Система має єдиний розв’язок (x0;y0;z0);

 

усі три площини перетинаються по одній прямій (при цьому площини можуть

збігатися). Ранг r(A)<3 та ранг r(B)<3. Система має безліч розв’язків;

 

хоча б дві площини є паралельними між собою (r(A)<3 та r(B)=3). Система

розв’язків не має.

 

Розглянемо систему двох рівнянь з трьома невідомими

 

 

Можливі лише такі випадки:

 

дві площини, задані цими рівняннями, паралельні. Це є тоді, коли ранг

звичайної (основної) матриці r(A)=1, а ранг розширеної – r(B)=2. Система

розв’язків не має;

 

обидві площини співпадають. Вектори (a1;b1;c1;d1) та (a2;b2;c2;d2)

лінійно залежні. Система має безліч розв’язків;

 

площини перетинаються по прямій. Ранги обох матриць r(A)=r(B)=2. Ці

ранги є меншими від кількості невідомих системи. Система, отже, має

безліч розв’язків.

 

Зазначимо, що множиною розв’язків у другому випадку є площина, а в

третьому – пряма. Тому розв’язати систему двох рівнянь з трьома

невідомими - означає описати аналітично множину всіх розв’язків.

 

 

.

 

Помножимо перше рівняння на -2 і додамо до другого:

 

4z = -28

 

Помножимо перше рівняння на 2 і додамо до другого:

 

-8y = 32-4x

 

, знаходимо:

 

y = (1/2)x-4 ; z = -7.

 

Отже, загальний розв’язок початкової системи має вигляд

 

{(x; -4+0,5x;7)|x(R}. Надаючи параметру x різних значень, ми отримуємо

конкретні розв’язки. Наприклад, при x=1 розв’язком є трійка чисел

 

(1; -3,5; -7), при x=0 – (0; -4; -7) , а при x=5 – (10; 1; -7).

Трійку чисел (2; 2; 2) не можна отримати при жодному значенні параметра,

отже, розв’язком системи вона не є.

 

Розглянемо методи розв’язування систем n лінійних рівнянь з n невідомими

 

.

 

Одним із способів є використання оберненої матриці:

 

.

 

Розглянемо також правило Крамера.

 

.

 

Введемо позначення

 

(i=1,…,n).

 

Виконується така теорема: Якщо ((0, то система

 

має єдиний розв’язок, який знаходиться за такими формулами (формулами

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ