Реферат з математики
Дослідження на збіжність числових рядів (за допомогою часткових сум та
необхідної умови збіжності ряду)
Приклад 1.
. Записати п’ять перших ленів ряду.
Розв’язання.
Розв’язання.
Отже,
Приклад 2. Чи збігаються такі ряди:
Розв’язання .
, то ці ряди розбігаються.
Приклад 3. Дослідити на збіжність і знайти суми рядів:
Розв’язання.
то часткову суму Sп ряду можна записати так:
і ряд збігається.
б). У даному випадку
і
.
, а тому збігається.
Приклад 4. Дослідити на збіжність ряд
Розв’язання.
суму n перших членів даного ряду можна записати
Отже,
Як бачимо, ряд збіжностей і його сума дорівнює 1.
Знайти суму Sn – його п членів і суму ряду S.
Розв’язання.
Розкладемо загальний член ряду на суму найпростіших дробів:
Знайдемо часткову суму ряду
Для визначення суми ряду знайдемо границю
Розв’язання.
виконується.
а значить збігається.
Відповідь: ряд збігається.
Розв’язання.
і знайдемо його границю.
, то наслідком з необхідної умови збіжності ряд розбігається.
Відповідь: ряд розбігається.
, використовуючи необхідну умову збіжності.
Розв’язування.
Для цього ряду не виконується необхідна умова збіжності ряду.
Дійсно,
Таким чином, даний ряд збігається.
Приклад 9. Дано загальний член ряду:
Написати ряд в розгорнутому вигляді і перевірити, чи виконується
необхідна умова збіжності ряду.
Розв’язання.
а). Знаходимо
то необхідна ознака збіжності не виконується, отже ряд розбіжний.
б). Знаходимо
Проте зробити висновок про збіжність ряду в даному випадку неможливо.
Для встановлення збіжності ряду треба перевірити чи виконуються достатні
умови збіжності.
Розв’язання.
А тому, вихідний ряд збігається, як сума збіжних рядів і
користуючись означенням збіжності ряду.
Розв’язання .
Для визначення збіжності будь-якого ряду треба знайти часткову зрізану
суму Sп , яка в нашому випадку становить
де А, В, С – визначені коефіцієнти. Маємо
запишемо у вигляді
Тепер
Тоді
Переходячи до границі, маємо:
Приклад 12. Дослідити на збіжність ряди:
Розв’язання.
а). Ряд із загальним членом (-1)п-1 не є збіжним, оскільки не
виконується необхідна умова збіжності ряду.
суми якиїх відповідно дорівнюють:
маємо
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
