Реферат з математики
Тема: Неперервні функції
1. Неперервність функції в точці і на відрізку
х .
х = х2- х1.
у.
(x1) .
Тепер можна перейти до поняття неперервності функції. Дамо два означення
неперервності функції в точці, які досить часто використовуються.
(х) називають неперервною при х = х0 або в точці х0.
0.
(х) називають неперервною при х = х0, якщо:
(х) існує при х = х0 та в деякому околі точки х0;
;
незалежно від способу прямування х до х0,
.
Ця ознака нижче буде використана для класифікації точок розриву.
(х) неперервна в точці а справа.
(х) в точці х = b неперервна зліва.
(х) називають неперервною на відрізку [а,b].
2. Класифікація розривів функції
Якщо при деякому х = x1 будь-яка із умов неперервності означення 2 не
виконується, то кажуть, що функція в цій точці має розрив, а точку x1
називають точкою розриву функції (дивись Мал. 1.).
Поняття неперервності та розриву функції можна наочно показати на
графіку функції.
, тобто не існує скінченної границі.
Графік функції, що зображений на Малюнку 1 має розриви в точках х1 та х2
Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовні:
(х) не визначена в точці х, або визначена, але мають місце
співвідношення
то розрив в точці х1 називають ліквідовним. В цьому випадку функцію
можна визначити або змінити її значення в точці х, так, щоб виконувались
рівності
2) неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та другого роду.
називають стрибком функції;
, то розрив в цій точці називають розривом другого роду.
На Малюнку 1 функція має розрив першого роду в точці х1, її стрибок
дорівнює b – а, а в точці х2 функція має розрив другого роди.
3. Властивості неперервних функцій та дії з ними
Приведемо без доведень властивості неперервних функцій.
(х) неперервна на відрізку [a, b], то вона обмежена на цьому відрізку,
тобто існують такі числа M та m, що
[а, b].
Теорема 2. Усі основні елементарні функції неперервні в кожній точці
своєї області існування.
Теорема 3. Алгебраїчна сума, добуток (скінченної кількості доданків та
множників) та частка функцій, неперервних при x = х0 (в останньому
випадку дільник в цій точці не повинен дорівнювати нулю) є також
неперервна функція при х = х0.
Теорема 4. Неперервна функція від неперервної функції є також неперервна
функція.
Теорема 5. Будь-яка елементарна функція неперервна в кожній точці своєї
області існування.
Мал. 1.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
