UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЗадача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки (реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось3430
Скачало540
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат з математики

 

Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами.

Загальний та частинний розв’язки.

 

План:

 

Задача Коші

 

Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та

частинний розв’язки.

 

1. Задача Коші.

 

 

задовольняє такі умови:

 

(1)

 

або

 

(2)

 

- довільні наперед задані дійсні числа.

 

Умови (2) називають початковими умовами рівняння (1). Зокрема, рівняння

другого порядку

 

 

початкові умови при х=х0 мають вигляд

 

 

Існування і єдність розв’язку задачі Коші визначають такою теоремою

Коші.

 

існує єдиний розв’язок у=у(х) рівняння (1), який задовольняє початкові

умови (2).

 

(мал..) . Проте через цю точку можуть проходити й інші інтегральні

криві, але з іншим нахилом дотичної.

 

Нарешті, зупинимось на поняттях загального та частинного розв’язку

рівняння (1). Як ми вже бачили, загальний розв’язок рівняння першого

порядку знаходиться за допомогою операції інтегрування і містить одну

довільну сталу. В загальному випадку розв’язок диференціального рівняння

п-го порядку знаходиться в результаті п послідовних інтегрувань, тому

загальний розв’язок рівняння (1) містить п довільних сталих, тобто має

вигляд

 

(5)

 

Якщо загальний розв’язок знаходиться в неявній формі:

 

(6)

 

то його називають загальним інтегралом рівняння (1).

 

Частинний розв’язок або частинний інтервал знаходять із загального ,

якщо у співвідношенні (5) або (6) кожній довільній сталій С1, С2, ...,

Сп надати конкретного числового значення. З погляду геометрії загальним

розв’язком рівняння (1) є п-параметрична сім’я інтегральних кривих,

залежних від п параметрів С1, С2, ..., Сп, а частинний розв’язок -

окрема крива з цієї сім’ї.

 

задовольняє початкові умови (54).

 

Таким чином, розв’язати (проінтегрувати ) диференціальне рівняння п-го

порядку – це означає: 1). Знайти його загальний розв’язок ; 2). Із

загального розв’язку виділити частинний розв’язок, який задовольняє

початкові умови, якщо такі умови задані.

 

2. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний

та частинний розв’язки.

 

Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку

 

(1)

 

де p, q –дійсні числа.

 

Ейлер запропонував шукати частинні розв’язки цього рівняння у вигляді

 

(2)

 

де k – стала (дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши

функцію (2) в рівняння (1) дістанемо

 

 

, то

 

(3)

 

Отже, якщо k буде коренем рівняння (3), то функція (2) буде розв’язком

рівняння (1). Квадратне рівняння (3) називається характеристичним

рівнянням диференціального рівняння (1).

 

Позначимо корені характеристичного рівняння через k1 і k2 . Можливі три

випадки:

 

);

 

;

 

ІІІ. k1 і k2 – дійсні і рівні числа ( k1=k2).

 

Розглянемо кожен випадок окремо.

 

. У цьому випадку частинними розв’язками рівняння (1) є функції

 

 

 

 

Згідно з теоремою 4 загальний розв’язок рівняння (1) знаходять за

формулою

 

(4)

 

ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно-спряжені:

 

 

у формулу (2), знайдемо розв’язки

 

 

За формулою Ейлера

-----> Page:

0 [1] [2] [3]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ