UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваВизначені та невласні інтеграли (реферат)
Автор
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось4412
Скачало927
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Визначені та невласні інтеграли

 

Визначений інтеграл є одним із основних понять математичного аналізу і

широко використовується в різних галузях науки, техніки та в економічних

дослідженнях.

 

1. Означення та властивості визначеного інтеграла

 

1.1. Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

 

Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.

 

0 для усіх x є [а, А].

 

Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х =

а та х = b, називають криволінійною трапецією (дивись Малюнок 1). В

окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона

трапеції стягується в точку.

 

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок

[а,b] довільним чином на n частин точками

 

а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b

 

Довжини цих частин

 

 

 

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати

 

 

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій

сумі, тобто

 

 

.

 

Тоді

 

(1)

 

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях

S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із

змінною швидкістю V(t) за час від t0 до T.

 

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: ?t1,?t2,…,?tn.

 

.

 

а за час T - t0 вона пройде шлях

 

 

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій

сумі. Коли ?tk?0, тоді змінна швидкість на проміжку ?tk мало

відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого

точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max ?tk? 0,

тобто

 

(2)

 

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що

направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена

ця сила та інші задачі.

 

1.2. Означення визначеного інтеграла та його зміст

 

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на

n частин точками ділення

 

а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b

 

.

 

яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].

 

, то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на

відрізку [а,b] і позначається

 

 

Математично це означення можна записати так:

 

(3)

 

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами,

відповідно.

 

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у

вигляді

 

(4)

 

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із

змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка

існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції

утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують

таку відому теорему.

 

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена

і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя

інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].

 

1.3. Основні властивості визначеного інтеграла

 

Із означення (3) визначеного інтеграла та основних теорем про граниш

випливають слідуючі властивості.

 

1 Постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла, тобто

-----> Page:

0 [1] [2] [3]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ