UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75850
останнє поновлення: 2016-12-08
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЕлементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матриць (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось975
Скачало265
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

 

Реферат на тему:

 

Елементарні докази теорем Перрона і Маркова для 2x2 матриць Відомо

[[1]-[10]], яку важливу роль відіграють невід’ємні матриці в

математичних моделях економіки, біології, теорії ймовірностей тощо.

 

Одними з основоположних фактів теорії цих матриць є теореми Перрона.

Перрона-Фробеніуса та Маркова. Доведення цих теорем в загальному випадку

потребує застосування теорем з таких неелментарних розділів математики,

як теорія екстремумів функції багатьох змінних, жорданова нормальна

форма тощо.

 

Мета роботи дати елементарне доведення вищезгаданих теорем Перрона,

Перрона-Фробеніуса та Маркова для матриць другого проядку, яке цілком

доступне і для школярів 9-го класу. Це дозволить, наприклад, на заняттях

шкільних математичних гуртків чи факультативів розглянути та

проаналізувати змістовні математично-економічні та теоретико-ймовірносні

моделі (наприклад, модель Леонтьєва, випадкове блукання на відрізку) з

повним доведенням всіх тверджень.

 

Необхідні відомості з теорії матриць.

 

Матриця розмірів m x n – це прямокутна таблиця чисел з m рядків та n

стовпців. Позначається матриця так:

 

 

. Матриці А та В однакових розмірів називаються рівними, якщо іх

відповідні елементи однакові, що записують так: А=В.

 

З матрицями можна здійснювати такі операції:

 

Множити на число

 

 

Додавати матриці однакових розмірів:

 

 

Множити матриці:

 

 

 

Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то їх завжди можна

перемножити.

 

, а інші елементи є нулями, називається одиничною матрицією порядку n.

Однична матриця має таку властивість: АЕ=ЕА=А, де А – квадратна матриця

порядку n, Е – одинична матриця такого ж порядку.

 

 

.

 

Беспосередньо можна первірити, що для

 

 

такий, що АХ=(Х. При цьому Х називається власним вектором матриці А, що

відповідає власному значенню (.

 

. Звідки видно, що не у кожної матриці є власні значення.

 

Визначення: Матриця А зветься додатною, якщо всі її елементи додатні, це

позначається А>0.

 

Теорема Перрона: Нехай А - додатна матриця, тоді А має додатне власне

значення r>0 таке, що:

 

1. r- відповідає єдиний (з точністю до множення на число) власний

вектор.

 

2. інші власні значення по модулю < r.

 

3. власний вектор, що відповідає r, можна вибрати додатним (тобто з

додатними елементами).

 

Доведення теореми для 2х2 матриць.

 

.

 

.

 

Напишемо характеристичне рівняння для матриці А:

 

.

 

Це квадратне рівніння з дискримінантом:

 

 

І тому

 

 

Тобто твердження теореми 1 і 2 доведені, якщо r=(1.

 

, що відповідає власному значенню (1 з рівності

 

 

Тоді

 

 

Враховуючи, що

 

 

перепишемо систему у вигляді:

 

 

і тому рівняння системи пропорціональні, а це означає, що одне з них

можна відкинути.

 

 

,тому що поклавши отримаємо x1>0.

 

,

 

, бо cb>0.

 

Таким чином третє твердження доведено, а з ним доведена теорема.

 

 

Визначення: Матриця А зветься невід’ємною, якщо всі її елементи

невід’ємні.

 

Зауваження: Фробеніус довів, що твердження теореми Перрона залишаються в

силі для нерозкладних невід’ємних матриць. Це можна довести, просто

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ