UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЗліченні множини (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1446
Скачало272
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Зліченні множини

 

Множина A рівнопотужна множині N натуральних чисел називається

зліченною множиною.

 

Іншими словами, зліченна множина A - це така множина, всі елементи якої

можна занумерувати числами 1,2,3,..., тобто можна вказати спосіб, за

яким першому елементу множини A ставиться у відповідність число 1,

другому - число 2, третьому - число 3 і т.д. Отже, будь-яку зліченну

множину A можна подати у вигляді A = {a1,a2,a3,...,an,...}.

 

Неважко переконатись, що множини квадратів натуральних чисел, усіх

парних чисел, усіх непарних чисел, чисел кратних деякому числу k, чисел,

які закінчуються парою цифр 00 тощо є зліченними множинами.

 

Перейдемо до вивчення властивостей зліченних множин.

 

Теорема 1.2. Будь-яка нескінченна множина M містить зліченну підмножину.

 

Доведення. Оскільки M нескінченна множина, візьмемо два елементи a1,b1(M

(a1(b1). Очевидно, множина M\{a1,b1} є нескінченною множиною. Тоді

візьмемо наступні два нові елементи a2,b2(M \{a1, b1} (a2(b2 ) і т.д.

Таким чином, ми виділимо з множини M дві зліченні множини

A={a1,a2,...,an,...}(M і B={b1,b2,...,bn,...}(M. Це дозволяє підсилити

формулювання теореми. А саме: будь-яка нескінченна множина M містить

зліченну підмножину A і при цьому множина M \ A є нескінченною множиною

(оскільки B (M \ A).

 

Теорема 1.3. Будь-яка підмножина зліченної множини є або скінченною, або

зліченною множиною.

 

Доведення. Нехай A={a1,a2,...,an,...} - зліченна множина і B(A. Отже,

B={a1,a2,...,ak,...} і можливі дві ситуації: або послідовність у

фігурних дужках уривається на деякому елементі, тоді B - скінченна

множина, або послідовність у дужках нескінченна, для якої, встановлюючи

відповідність (l,al), l(N, одержуємо, що B - зліченна множина.

 

З теорем 1.2 і 1.3, зокрема, випливає, що зліченні множини є до певної

міри найпростішими нескінченними множинами, бо, з одного боку, вони

містяться в будь-якій нескінченній множині, а з другого - містять в собі

тільки скінченні множини, або нескінченні множини, які є зліченними.

 

Теорема 1.4. Об’єднання скінченної або зліченної сукупності зліченних

множин є зліченною множиною.

 

Доведення. Розглянемо спочатку скінченну сукупність зліченних множин

{A1,A2,...,Ak}, де Ai={a1i,a2i,...,ani,...}, i=1,2,...,k. Запишемо всі

елементи множин A1,A2,...,Ak в рядок таким чином:

a11,a12,...,a1k,a21,a22,...,a2k,...,an1,an2,...,ank,....

 

Перенумеруємо записані елементи в порядку їх розташування в рядку. При

цьому елемент, який вже одержав свій номер і повторно з'являється в

рядку, з подальшої нумерації вилучається. В результаті кожен елемент

об’єднання одержить свій номер, що і потрібно було довести.

 

У випадку зліченної сукупності множин Ai={a1i,a2i,...,ani,...},

i=1,2,..., перепишемо всі елементи множин Ai у такому порядку:

a11,a12,a21,a13,a22,a31,a14,a23,a32,a41,....

 

Принцип переписування елементів множин A зображений за допомогою

стрілок на рис.1.4.

 

a11, a21, a31, ..., an1,.... A1

 

( (

 

a12, a22, a32, ..., an2,.... A2

 

( (

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ