UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваНезліченні множини (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2367
Скачало308
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Незліченні множини

 

Наступні питання, які логічно випливають із висловленого вище

припущення про рівнопотужність усіх нескіченних множин: чи всі

нескінченні множини зліченні, або чи існують нескінченні множини, які не

будуть зліченними? Факт існування множин, які не є зліченними

(незліченних множин), вперше був встановлений Г.Кантором за допомогою

запропонованого ним діагонального методу, який набув згодом

фундаментального значення в різних розділах математики. Зокрема, цей

метод лежить в основі доведення наступної важливої теореми, яка належить

Г.Кантору.

 

Теорема 1. Множина всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1) незліченна.

 

Доведення. Відомо, що кожному дійсному числу з інтервалу (0,1) можна

поставити у відповідність нескінченний десятковий дріб 0,a1a2a3.... Для

ірраціональних чисел цей нескінченний десятковий дріб є неперіодичним.

Для кожного раціонального числа, яке зображується скінченним десятковим

дробом, з двох можливих варіантів запису його у вигляді нескінченного

періодичного десяткового дробу (з періодом 0 або періодом 9) зафіксуємо

період 9. Наприклад, число 0,123 (або 0,123000...) будемо записувати у

вигляді 0,122999..., а число 0,7 - у вигляді 0,699.... Очевидно, що

запропонована відповідність буде взаємно однозначною.

 

Проведемо доведення теореми методом від супротивного. Припустімо, що

сформульоване твердження хибне і множина всіх дійсних чисел з інтервалу

(0,1) зліченна. Тобто існує нумерація цих чисел x1,x2,...,xn,....

Перепишемо у вигляді нескіченних десяткових дробів усі числа з інтервалу

(0,1) в порядку їхньої нумерації

 

x1 = 0, a11 a12 a13 ... a1n...,

 

(

 

x2 = 0, a21 a22 a23 ... a2n...,

 

(

 

x3 = 0, a31 a32 a33 ... a3n...,

 

(

 

...............................

 

xn = 0, an1 an2 an3 ... ann...,

 

...............................

 

Рухаючись по діагоналі (вказаної стрілками), утворимо новий нескінченний

десятковий дріб 0,b1b2...bn... такий, що b1( a11, b2(a22,...,bn(ann,....

Додатково для того, щоб уникнути ситуації з можливістю зображення одного

й того ж раціонального числа у двох формах, будемо вибирати значення

цифр bi так, щоб bi(0 і bi(9, i=1,2,.... Утворений дріб є записом

деякого дійсного числа y з інтервалу (0,1), однак він не належить

розглядуваній зліченній множині. Справді, побудований дріб відрізняється

від кожного з дробів нашої нумерації x1,x2,...,xn,... принаймні однією

цифрою. Точніше, y(xn тому, що дроби y і xn відрізняються принаймні n-ю

цифрою після коми (n=1,2,...). З одержаної суперечності випливає, що не

існує переліку для множини всіх дійсних чисел з інтервалу (0,1). Отже,

припущення щодо її зліченності хибне і розглядувана множина -

незліченна. Теорема доведена.

 

Будь-яка множина, рівнопотужна множині всіх дійсних чисел з інтервалу

(0,1), називається континуальною, або множиною потужності континуум.

 

Теорема 2. Якщо M - незліченна множина, а A - скінченна або зліченна

підмножина множини M, то множини M\A і M рівнопотужні, тобто

 

M \ A ~ M.

 

Доведення. Очевидно, що множина M \ A незліченна. Якби множина M'=M \ A

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ