UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75834
останнє поновлення: 2016-11-29
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваКардинальні числа (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1355
Скачало301
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Кардинальні числа

 

або Card A) будемо називати деякий об’єкт для позначення потужності

будь-якої множини із сукупності S.

 

Зокрема, для скінченної множини A кардинальним числом |A| є натуральне

число, яким позначається кількість елементів будь-якої з множин

сукупності S. Таким чином, можна вважати, що кардинальне число є

узагальненням поняття числа елементів.

 

Природно виникає питання про порівняння кардинальних чисел нескінченних

множин.

 

Нехай A і B нескінченні множини, тоді логічно можливі такі чотири

випадки:

 

1. Iснує взаємно однозначна відповідність між A і B, тобто A ~ B і

|A|=|B|.

 

2. Існує взаємно однозначна відповідність між множиною A і деякою

власною підмножиною B' множини B. Тоді кажуть, що потужність множини A

не менша від потужності множини B і записують |A|(|B|.

 

3. Множина A рівнопотужна деякій підмножині множини B і, навпаки,

множина B рівнопотужна деякій підмножині множини A, тобто A~B' ( B і

B~A' ( A.

 

За теоремою Кантора-Бернштейна, доведення якої наведено нижче, у цьому

випадку виконується A ~ B, тобто |A|=|B|.

 

4. Не існує взаємно однозначної відповідності між множиною A і жодною

підмножиною множини B і, також, не існує взаємно однозначної

відповідності між множиною B і жодною підмножиною множини A. З цієї

ситуації випливало б, що потужності множин A і B непорівнювані між

собою.

 

Однак більш глибокі дослідження в теорії множин показали, що, спираючись

на аксіому вибору (див.розд.1.13), можна довести неможливість четвертого

випадку.

 

Таким чином, потужності будь-яких двох множин A і B завжди порівнювані

між собою. Отже, для кардинальних чисел |A| і |B| довільних множин A і B

виконується одне з трьох співвідношень: |A|=|B|, |A|(|B| або |B|(|A|.

 

Якщо |A|(|B|, однак множина A нерівнопотужна множині B, то писатимемо

|A|<|B|.

 

Теорема 1. (теорема Kантора-Бернштейна).

 

Якщо множина A рівнопотужна деякій підмножині B1 множини B, A~B1(B і,

одночасно, множина B рівнопотужна деякій підмножині A1 множини A,

B~A1(A, то множини A і B рівнопотужні.

 

Доведення. Зрозуміло, що роблячи припущення про існування таких

підмножин B1(B і A1(A, що A1 ~ B і B1 ~ A, вважаємо, що A1 і B1 є

власними підмножинами множин A і B відповідно. Якщо A1 = A або B1=B, то

справедливість теореми очевидна.

 

Нехай f0(B ( A взаємно однозначна відповідність між B і A. Тоді з того,

що B1(B випливає, що існує множина A2 = f0(B1)(A1 така, що

f1(B1(A2(B(A1, f1(f0 і f1 є взаємно одозначною відповідністю між B1 і

A2, тобто B1~A2. За умовою теореми A~B1, отже A~A2. Це означає, що існує

взаємно однозначна відповідність f2 між множинами A і A2, f2(A(A2.

 

Образом f2(A1) підмножини A1(A при відповідності f2 буде деяка множина

A3(A2. Відповідність f3(A1(A3, f3(f2 є взаємно однозначною, отже A1~A3.

Аналогічно, образом f3(A2) підмножини A2(A1 при відповідності f3 буде

деяка множина A4(A3, а відповідність f4(A2(A4, f4(f3 буде взаємно

однозначною, тобто A2~A4.

 

Продовжуючи ці міркування, одержимо нескінченний ланцюг строгих включень

A(A1(A2(A3(...(An(.... При цьому виконуються такі співвідношення:

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ