UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75855
останнє поновлення: 2016-12-09
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваВідношення еквівалентності (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось2651
Скачало449
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Відношення еквівалентності

 

Відношення R на множині M називається відношенням еквівалентності (або

просто еквівалентністю), якщо воно рефлексивне, симетричне і

транзитивне.

 

Враховуючи важливість відношення еквівалентності, дамо розгорнуте

означення цього поняття. Таким чином, відношення R на множині M є

відношенням еквівалентності або евівалентністю, якщо

 

1. aRa для всіх a(M (рефлексивність);

 

2. Якщо aRb, то bRa для a,b(M (симетричність);

 

3. Якщо aRb і bRc, то aRc для a,b,c(M (транзитивність).

 

Приклад 1.15. 1. Відношення рівності iM на будь-якій множині M є

відношенням еквівалентності. Рівність - це мінімальне відношення

еквівалентності, бо при видаленні бодай одного елемента з iM відношення

перестає бути рефлексивним, а отже, і відношенням еквівалентності.

 

2. Відношення рівнопотужності множин є еквівалентністю.

 

3. Важливу роль відіграє в математиці відношення "мають однакову остачу

при діленні на k" або "конгруентні за модулем k", яке є відношенням

еквівалентності на множині N натуральних чисел для будь-якого

фіксованого k(N. Відношення конгруентності за модулем k часто позначають

a ( b (mod k). Цьому відношенню належать, наприклад, пари натуральних

чисел (17,22), (1221,6), (42,57) для k=5, тобто 17 ( 22(mod 5), 1221 ( 6

(mod 5), 42 ( 57 (mod 5).

 

4. Еквівалентністю є відношення подібності на множині всіх трикутників.

 

Bi=A і Bi(Bj = ( для i(j. Множини Bi, i(I є підмножинами множини A і

називаються класами, суміжними класами, блоками або елементами розбиття.

Очевидно, що кожний елемент a(A належить одній і тільки одній множині

Bi, i(I.

 

Припустимо, що на множині M задано відношення еквівалентності R.

Виконаємо таку побудову. Виберемо деякий елемент a(M і утворимо

підмножину SaR = { x | x(M і aRx}, яка складається з усіх елементів

множини M еквівалентних елементу a. Відтак, візьмемо другий елемент b(M

такий, що b(SaR і утворимо множину SbR = { x | x(M і bRx } з елементів

еквівалентних b і т.д. Таким чином одержимо сукупність множин (можливо,

нескінченну) {SaR,SbR,...}. Побудована сукупність множин { SiR | i(I}

називається фактор-множиною множини M за еквівалентністю R і

позначається M/R.

 

Приклад 1.16. 1. Фактор-множина за відношенням рівності E для будь-якої

множини M має вигляд M/E = { {a} | a(M}.

 

2. Фактор-множина для відношення "конгруентні за модулем 3" на множині N

натуральних чисел складається з трьох класів { 3k | k(N }, { 3k-1 | k(N

} і { 3k-2 | k(N}.

 

SiR = M. Відтак припустимо, що для деяких SaR(SbR існує елемент

c(SaR(SbR. Тоді з c(SaR випливає aRc, а з c(SbR випливає bRc. Iз

симетричності і транзитивності відношення R виводимо aRb і bRa. Iз

співвідношення aRb і правила побудови множини SaR маємо SaR(SbR, а з bRa

і правила побудови множини SbR одержуємо протилежне включення SbR(SaR.

Отже, SaR=SbR, і з одержаної суперечності випливає справедливість

сформульованого твердження.

 

Очевидно, що будь-які два елементи з одного класу SiR еквівалентні між

собою, в той час як будь-які два елементи з різних класів фактор-множини

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ