UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 10

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваМатематичні основи (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1543
Скачало387
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Математичні основи

 

Означення. Нехай a та b – цілі числа. Кажуть, що a дорівнює b за

модулем n, позначається через a ? b (mod n), якщо a - b ділиться на n.

 

Приклад. 23 ? 3 (mod 5), тому що 23 - 3 = 5 * 4;

 

-25 ? 3 (mod 7), тому що -25 - 3 = 7 * -4;

 

Властивості. Нехай a, a1, b, b1, c – цілі числа.

 

1. a ? b (mod n) тоді і тільки тоді коли a та b дають рівні залишки при

діленні на n.

 

2. Рефлексивність. a ? a (mod n).

 

3. Симетрія. Якщо a ? b (mod n), то b ? a (mod n).

 

4. Транзитивність. Якщо a ? b (mod n) і b ? c (mod n), то a ? c (mod n).

 

5. Якщо a ? a1 (mod n) та b ? b1 (mod n),

 

то a + b ? a1 + b1 (mod n) і a * b ? a1 * b1 (mod n).

 

Означення. Нехай n – ціле додатне число. Позначимо через Ct клас, у який

об’єднано усі цілі числа, які при діленні на n дають одну і ту ж остачу

t. Усі цілі числа розіб’ються на n класів C0, C1, ..., Cn-1, які

називаються класами лишків за модулем n.

 

Приклад. Нехай n = 7. Тоді до класу C2 належать числа виду 7 * x + 2,

де x ? Z.

 

Твердження. Два числа є порівнюваними за модулем n, якщо вони належать

одному класу лишків за модулем n.

 

Означення. Якщо з кожної системи лишків за модулем n взяти по одному

представнику, то отриману систему чисел називають повною системою лишків

за модулем n. Якщо повну систему лишків будувати з найменших невід’ємних

лишків, то вона прийме вигляд: 0, 1, 2, ..., n - 1. Її будемо позначати

через Zn. Арифметичні операції над елементами цієї множини відбуваються

за модулем n. Повна система лишків утворює групу з операцією додавання.

 

Приклад. Повною системою лишків за модулем 5 буде множина чисел Z5 = {0,

1, 2, 3, 4}.

 

Приклад. Z12 = {0, 1, 2, ..., 11}. У класі Z12: 11 + 6 = 5, тому що 11 +

6 = 17 ? 5 (mod 12). 10 * 3 = 6, тому що 10 * 3 = 30 ? 6 (mod 12).

 

Перша теорема про лишки лінійної форми. Якщо у лінійній формі ax + b

число x пробігає усі значення з повної системи лишків за модулем n при

НСД(a, n) = 1 та довільному b, тоді ax + b пробігає усі значення повної

системи лишків за модулем n.

 

Доведення. Отримана система складається з n чисел, оскільки замість x у

формі ax + b підставляються n різних значень. Доведемо від супротивного,

що усі ці n отриманих чисел різні. Нехай x1 та x2 не порівнювані за

модулем n, але ax1 + b ? ax2 + b (mod n). Тоді ax1 ? ax2 (mod n). Але

оскільки НСД(a, n) = 1, то x1 ? x2 (mod n). Отримали суперечність.

 

Приклад. Нехай n = 6, a = 5, b = 1, при цьому НСД(a, n) = 1. Підставимо

до форми 5 * x + 1 значення x із повної системи лишків Z6 = {0, 1, 2,

..., 5}.

 

x 5 * x + 1 (mod 6)

 

0 1

 

1 0

 

2 5

 

3 4

 

4 3

 

5 2

 

 

 

В правому стовпчику таблиці всі числа різні.

 

Означення. Якщо з кожної системи лишків Ct (t = 0, 1, ..., n - 1) за

модулем n, для якої НСД (t, n) = 1 взяти по одному представнику, то

отриману систему чисел називають зведеною системою лишків за модулем n і

позначають через Zn*. Зведена система лишків утворює групу з операцією

множення.

 

Якщо p – просте, то Zp* = {1, 2, ..., p - 1}.

 

Означення. Порядком множини A будемо називати кількість її елементів і

-----> Page:

0 [1] [2]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ