Реферат на тему:
Збурення псевдообернених та проекційних матриць
Метод збурення псевдообернених матриць [1] на основі принципу
розщеплення матриць нижче поширюється на проекційні матриці з метою
подальшого використання при розв’язанні задач ідентифікації,
нелінійного регресійного аналізу, апроксимації функцій і прогнозу.
, збурену матрицю
,
збурену псевдообернену матрицю
,
збурену проекційну матрицю
,
а також наступну проекційну матрицю
.
.
.
відповідно, тобто
. (2.1)
визначається наступною теоремою.
, виконуються умови (2.1), то
.
, їхній вид визначається наслідками з теореми 1.
Наслідок 1. Якщо виконуються умови теореми, то
. (2.2)
Справедливість цього твердження прямо випливає з теореми 1. Дійсно
.
Наслідок 2. Якщо виконуються умови теореми 1, то
. (2.3)
Наслідок 3. Якщо виконуються умови теореми 1 і
,
, то
. (2.4)
Справедливість твердження наслідку 3 випливає з формули (2.3) і
співвідношень
.
, тобто
. (2.5)
Тут має місце наступна теорема [8].
виконуються умови (2.5), то
(2.6)
де
.
, то
, (2.7)
де
. (2.8)
Наслідок 5. Якщо мають місце умови наслідку 4, то
, (2.9)
визначається по формулі (2.8).
Доведення наслідку (5) випливає з наступних співвідношень
.
Наслідок 6. Якщо мають місце умови наслідку 4, то
. (2.10)
.
, тобто
(2.11)
і при цьому
. (2.12)
У цьому випадку збурення псевдооберненої матриці визначаються відповідно
наступної теореми.
виконуються умови (2.11), (2.12), то мають місце співвідношення
, (2.13)
. (2.14)
Наслідок 7. Якщо виконані умови теореми 3, то
. (2.15)
,
де використані властивості
,
( відповідно до (2.11) ),
( відповідно до (2.12) ).
Наслідок 8. Якщо виконуються умови теореми 3, то
, (2.16)
визначається по формулі (2.14).
При доведенні теореми 3 використовується наступна лема.
має наступну псевдообернену матрицю
. (2.17)
Ця лема буде використана нижче для обчислення збурень у псевдооберненій
матриці, якщо під збуреннями початкової матриці розуміти видалення з неї
деякого її стовпця або рядка.
Випадок 4. Нехай мають місце умови (2.11)
але при цьому не виконується рівність (2.12), тобто
. (2.18)
Тоді, як це випливає з доведення теореми 3, виконується умова
. (2.19)
виконуються умови (2.11), (2.18), то мають місце співвідношення
, (2.20)
Доведення цього твердження здійснюється перевіркою умов, яким повинна
задовольняти псевдообернена матриця.
Наслідок 9. Якщо виконані умови теореми 4, то
. (2.21)
Наслідок 10. Якщо виконуються умови теореми 4, то
.(2.22)
Довести останню формулу можна наступним чином
.
, то
, (2.23)
, (2.24)
, (2.25)
. (2.26)
наслідку 4 і 5.
. В якості збурень без обмеження спільності будемо розглядати
поповнення матриці або вилучення останнього рядка. При поповненні
матриці новим рядком для визначення збуреної псевдооберненої матриці
використовуються добре відомі формули Гревіля [5]
, тоді
, (2.27)
, (2.28)
(2.29)
, то
, (2.30)
, (2.31)
. (2.32)
останнього рядка псевдообернена і проекційні матриці набувають
наступні зміни
при
, (2.33)
де
, (2.34)
, (2.35)
, (2.36)
, (2.37)
b) при
, (2.38)
, (2.39)
, (2.40)
, (2.41)
, тобто
, (2.42)
а умова (2.38) – відсутність зниження рангу
, (2.43)
Наведемо доведення формули (2.35). Якщо
одержимо
,
і, відповідно до (2.17)
,
,
.
Тут використані співвідношення
.
Подібним чином доводиться і формула (2.37).
відповідно до (2.30)
і з рівняння
одержимо
.
Формули (40) і (41) доводяться простим використанням формули (2.39).
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter