Реферат на тему:
Інтерполювання функцій
Задача про інтерполяцію функцій є однією з основних задач чисельного
аналізу. Формулюється вона таким чином.
, значення якої співпадають у вузлах сітки із заданими значеннями
. (1)
.
Інтерполянти, як правило, будуються у вигляді узагальнених поліномів
,
-невідомі параметри.
:
.
.
.
такий, що
.
та способи його побудови.
Якщо шукати ІП увигляді
то система ЛАР
, і, отже, єдиний розв’язок. Звідси випливає існування та єдиність
інтерполяційного полінома (2). Відомо багато форм запису
інтерполяційного поліному. Розглянемо побудову так званого
інтерполяційного поліному Лагранжа.
(коефіцієнти або фундаментальні поліноми Лагранжа):
0.
і дорівнює нулю у всіх інших вузлах. З цього випливає, що ІП
, (3)
.
Многочлен (3) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа.
називається похибкою інтерполяції многочленом Лагранжа або залишковим
членом формули Лагранжа.
При практичному використанні інтерполяційних многочленів важливим є
знання похибки, яка виникає при інтерполяції.
така, шо
Одержимо цю формулу.
Для цього розглянемо функцію
(4)
дає оцінку. З цього випливає, що
.
Використовуючи (4), одержимо
з (4) маємо
(5)
Використовуючи рівномірну метрику, одержимо з (5) оцінку
(6)
буде мінімальним.
Чебишевим були побудовані многочлени
поліноми Чебишева першого роду.
і використовуючи тригонометричну тотожність
:
.
найменшу верхню грань абсолютних значень, тобто найменше відхиляється
від нуля. При цьому
0.
Лінійною заміною змінної
.
Повертаючись до оцінки (6), бачимо, що
:
Отже, якщо вузлами інтерполяції взяти вузли
то
.
, тому нерівність (6) обертaється в рівність. Враховуючи що
при будь яких вузлах інтерполяції, маємо
.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Записати формулу Лагранжа для рівновіддалених вузлів інтерполяції.
Довести інваріантність коефіцієнтів Лагранжа відносно лінійної
підстановки x=at+b.
функції f(x) інтерполяційним многочленом, побудованим по оптимальних
вузлах інтерполяції та відрізком ряду Тейлора.
Записати формулу коренів полінома Tn+1(x).
Записати формулу для визначення координат точок, де Tn(x) досягає
максимума.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
Реферат на тему:
Інтерполювання функцій
Задача про інтерполяцію функцій є однією з основних задач чисельного
аналізу. Формулюється вона таким чином.
, значення якої співпадають у вузлах сітки із заданими значеннями
. (1)
.
Інтерполянти, як правило, будуються у вигляді узагальнених поліномів
,
-невідомі параметри.
:
.
.
.
такий, що
.
та способи його побудови.
Якщо шукати ІП увигляді
то система ЛАР
, і, отже, єдиний розв’язок. Звідси випливає існування та єдиність
інтерполяційного полінома (2). Відомо багато форм запису
інтерполяційного поліному. Розглянемо побудову так званого
інтерполяційного поліному Лагранжа.
(коефіцієнти або фундаментальні поліноми Лагранжа):
0.
і дорівнює нулю у всіх інших вузлах. З цього випливає, що ІП
, (3)
.
Многочлен (3) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа.
називається похибкою інтерполяції многочленом Лагранжа або залишковим
членом формули Лагранжа.
При практичному використанні інтерполяційних многочленів важливим є
знання похибки, яка виникає при інтерполяції.
така, шо
Одержимо цю формулу.
Для цього розглянемо функцію
(4)
дає оцінку. З цього випливає, що
.
Використовуючи (4), одержимо
з (4) маємо
(5)
Використовуючи рівномірну метрику, одержимо з (5) оцінку
(6)
буде мінімальним.
Чебишевим були побудовані многочлени
поліноми Чебишева першого роду.
і використовуючи тригонометричну тотожність
:
.
найменшу верхню грань абсолютних значень, тобто найменше відхиляється
від нуля. При цьому
0.
Лінійною заміною змінної
.
Повертаючись до оцінки (6), бачимо, що
:
Отже, якщо вузлами інтерполяції взяти вузли
то
.
, тому нерівність (6) обертaється в рівність. Враховуючи що
при будь яких вузлах інтерполяції, маємо
.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
Записати формулу Лагранжа для рівновіддалених вузлів інтерполяції.
Довести інваріантність коефіцієнтів Лагранжа відносно лінійної
підстановки x=at+b.
функції f(x) інтерполяційним многочленом, побудованим по оптимальних
вузлах інтерполяції та відрізком ряду Тейлора.
Записати формулу коренів полінома Tn+1(x).
Записати формулу для визначення координат точок, де Tn(x) досягає
максимума.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter
