Реферат на тему:
Різницеві інтерполяційні формули
Як побачимо далі, ІП можна розглядати як узагальнення відрізку ряду
Тейлора.
, РР 1- го порядку визначаються рівністю
РР 2- го порядку:
-1)-го порядку за формулою
Лема.Справедлива рівність
. (1)
Безпосередньо з (1) випливає ряд наслідків.
РР є лінійним функціоналом від функції :
, тобто не змінюється при їх перестановці.
, то таблицю
називають таблицею розділених різниць.
За допомогою РР можна одержати іншу форму запису ІП Лагранжа:
.
. Таким чином, можна написати
, (2)
визначено нами раніше.
можна подати у вигляді
). (3)
. Отже,
.
, одержуємо
.
, маємо
.
, тому
.
Підставляючи це в (3), одержимо
.
Таке представлення ІП називається формулою Ньютона з розділеними
різницями. З порівняння ІП Ньютона і Лагранжа випливає важлива рівність
. (4)
, то на підставі (4) маємо
.
, то внаслідок (4) маємо
.
.
Справедлива рівність
. (5)
полягає в послідовному обчисленні за допомогою (5) елементів таблиці
значень ІП.
або з найкращою можливою точністю при наявній інформації,
Побудова алгоритму, яку ми зараз розглянемо, є досить типовою для
ситуації, що виникає на практиці. Неможливо запропонувати обгрунтований
алгоритм розв’язку поставленої задачі для всіх функцій, якщо про функцію
нічого не відомо, крім її значень в заданих точках. Але, припускаючи, що
функція є досить гладкою, одержуємо практичний критерій оцінки похибки
і, грунтуючись на ньому, будуємо алгоритм розв’язку задачі.
.
Раніше ми одержали вираз для похибки (2)
,
припиняються.
Розглянемо тепер дещо узагальнену задачу інтерполювання. Якщо у вузлах
інтерполяції відомі не лише значення шуканої функції, а й її похідних до
деякого порядку, то було б нерозумним не скористатися цією додатковою
інформацією.
, що задовольняє умовам:
. . . . . . . (6)
,
відповідно.
задoвoльняє cпіввідношенням
,
+1.
.
. Таблиця РР, відповідних цьому набору вузлів, має вигляд:
Запишемо ІП Ньютона з розділеними різницями:
Виражаючи РР через похідні, маємо
.
прямують до деякого поліному
,
.
Поліном
записується у вигляді
.
. Отже, цей поліном є шуканим.
ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ
1. Довести рівність
.
При доведенні можна викристати метод математичної індукції.
.
, РР більш високих порядків дорівнюють нулю.
4. Дать порівняльну характеристику ІП Лагранжа та Ньютона.
.
.
.
.
Нашли опечатку? Выделите и нажмите CTRL+Enter