UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75850
останнє поновлення: 2016-12-08
за 7 днів додано 17

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваЛінійні диференціальні рівняння вищих порядків (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1604
Скачало425
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

 

Рівняння вигляду

 

 

-го порядку.

 

Рівняння вигляду

 

 

-го порядку.

 

неперервні, то для рівняння

 

 

, що задовольняє початковим умовам

 

.

 

1. Лінійні однорідні рівняння.

 

1.1. Властивості лінійних однорідних рівнянь

 

.

 

, одержимо

 

 

І після підстановки і приведення подібних, одержимо знову лінійне

однорідне рівняння

 

.

 

.

 

, одержимо

 

 

І після підстановки одержимо знову лінійне однорідне рівняння

 

.

 

1.2. Властивості розв’язків лінійних однорідних рівнянь

 

- довільна стала, теж буде розв’язком однорідного лінійного рівняння.

 

- розв’язок лінійного однорідного рівняння, тобто

 

.

 

Тоді і

 

 

оскільки вираз в дужках дорівнює нулю.

 

теж буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.

 

- розв’язки лінійного рівняння, тобто

 

 

Тоді і

 

 

оскільки обидві дужки дорівнюють нулю.

 

- довільні сталі, також буде розв’язком лінійного однорідного рівняння.

 

- розв’язки лінійного однорідного рівняння, тобто

 

.

 

Тоді і

 

 

оскільки кожна дужка дорівнює нулю.

 

будуть також розв’язками цього рівняння.

 

є розв’язком лінійного однорідного рівняння, тобто

 

 

Розкривши дужки і перегрупувавши члени, одержимо

 

 

Комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють нулю

дійсна і уявна частини, тобто

 

 

є розв’язками рівняння, що і було потрібно довести.

 

1.3. Лінійна залежність і незалежність розв’язків. Загальний розв’язок

лінійного однорідного рівняння вищого порядку

 

 

 

називаються лінійно незалежними.

 

дійсних коренів.

 

- дійсні різні числа - лінійно незалежні.

 

- лінійно незалежні.

 

,

 

 

 

-раз , одержимо

 

 

.

 

.

 

лінійної однорідної системи алгебраїчних рівнянь.

 

 

з отриманими коефіцієнтами.

 

, розв’язок буде задовольняти умовам

 

 

, що і було потрібно довести .

 

На підставі попередніх двох теорем сформулюємо необхідні і достатні

умови лінійної незалежності розв’язків лінійного однорідного рівняння.

 

.

 

Теорема. Загальним розв’язком лінійного однорідного рівняння

 

 

.

 

є розв’язками, то в силу третьої властивості їхня лінійна комбінація

також буде розв’язком.

 

можна розв’язати довільну задачу Коші

 

 

Дійсно, оскільки система розв’язків лінійно незалежна, то визначник

Вронського відмінний від нуля й алгебраїчна система неоднорідних рівнянь

 

 

є розв’язком, причому, як видно із системи алгебраїчних рівнянь, буде

задовольняти довільно обраним умовам Коші.

 

Властивість. Максимальне число лінійно незалежних розв’язків дорівнює

порядку рівняння.

 

- лінійно незалежних розв’язків.

 

-го порядку називаються фундаментальною системою розв’язків.

 

0

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ