UkrReferat.com
найбільша колекція україномовних рефератів

Всього в базі: 75843
останнє поновлення: 2016-12-04
за 7 днів додано 15

Реферати на українській
Реферати на російській
Українські підручники

$ Робота на замовлення
Реклама на сайті
Зворотній зв'язок

 

ПОШУК:   

реферати, курсові, дипломні:

Українські рефератиРусские рефератыКниги
НазваСистеми лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення (реферат)
Авторdimich
РозділМатематика, алгебра, геометрія, статистика
ФорматWord Doc
Тип документуРеферат
Продивилось1905
Скачало396
Опис
ЗАКАЧКА
Замовити оригінальну роботу

Реферат на тему:

 

Системи лінійних диференціальних рівнянь. Загальні положення

 

Система диференціальних рівнянь, що записана у вигляді

 

 

називається лінійною неоднорідною системою диференціальних рівнянь.

Система

 

 

називається лінійною однорідною системою диференціальних рівнянь. Якщо

ввести векторні позначення

 

,

 

то лінійну неоднорідну систему можна переписати у вигляді

 

 

а лінійну однорідну систему у вигляді

 

.

 

, то виконані умови теореми існування та єдиності розв’язку задачі

Коші, і існує єдиний розв’язок

 

 

системи рівнянь, що задовольняє початковим даним

 

 

1. Властивості розв’язків лінійних однорідних систем

 

- стала скалярна величина, також є розв’язком цієї системи.

 

Дійсно, за умовою

 

.

 

Але тоді і

 

 

є розв’язком однорідної системи.

 

є розв’язками однорідної системи, то і їхня сума також буде розв’язком

однорідної системи.

 

Дійсно, за умовою

 

 

Але тоді і

 

 

є розв’язком однорідної системи.

 

є розв’язками однорідної системи, та і їхня лінійна комбінація з

довільними коефіцієнтами також буде розв’язком однорідної системи.

 

Дійсно, за умовою

 

.

 

Але тоді і

 

 

є розв’язком однорідної системи.

 

є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна та уявна частини є

розв’язками системи.

 

Дійсно за умовою

 

 

Розкривши дужки і зробивши перетворення, одержимо

 

 

А комплексний вираз дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли дорівнюють

нулю дійсна і уявна частини, тобто

 

 

що і було потрібно довести.

 

.

 

, то вектори лінійно незалежні.

 

Визначення 2. Визначник, що складається з векторів

 

, тобто

 

 

називається визначником Вронського.

 

лінійно залежні, то визначник Вронського тотожно дорівнює нулю.

 

.

 

Або, розписавши покоординатно, одержимо

 

.

 

тоді і тільки тоді, коли визначник дорівнює нулю, тобто

 

.

 

.

 

.

 

Тоді система однорідних алгебраїчних рівнянь

 

 

. Розглянемо лінійну комбінацію розв’язків з отриманими коефіцієнтами

 

.

 

, або

 

,

 

лінійно залежні, що суперечить умові теореми.

 

, що і було потрібно довести.

 

.

 

Доведення. Випливає з попередніх двох теорем.

 

Теорема 4. Загальний розв’язок лінійної однорідної системи

представляється у вигляді лінійної комбінації п -лінійно незалежних

розв’язків.

 

або в координатній формі:

 

.

 

лінійно незалежні, то визначник Вронського відмінний від нуля. Отже,

система алгебраїчних рівнянь

 

 

.

 

Тоді лінійна комбінація

 

 

є розв’язком поставленої задачі Коші. Теорема доведена.

 

Властивість 1. Максимальне число незалежних розв’язків дорівнює

кількості рівнянь.

 

лінійно незалежних розв’язків.

 

-лінійно незалежних розв’язків, називається фундаментальною матрицею

розв’язків системи.

 

Якщо лінійно незалежними розв’язками будуть

 

,

 

то матриця

 

 

буде фундаментальною матрицею розв’язків.

 

Як випливає з попередньої теореми загальний розв’язок може бути

представлений у вигляді

 

,

 

.

 

2. Формула Якобі

 

- визначник Вронського. Обчислимо похідну визначника Вронського

 

 

 

Оскільки для похідних виконується співвідношення

 

 

 

………………………………………….

-----> Page:

0 [1]

ЗАМОВИТИ ОРИГІНАЛЬНУ РОБОТУ